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a) Überprüfen sie, ob die Abbildungen L1, L2 linear sind.
Um zu überprüfen, ob eine Abbildung linear ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
1. Additivität: \(L(v + w) = L(v) + L(w)\) für alle \(v, w\) im Definitionsbereich.
2. Homogenität: \(L(\alpha v) = \alpha L(v)\) für alle Skalare \(\alpha\) und alle \(v\) im Definitionsbereich.
Für \(L_{1}\):
Die Abbildung \(L_{1}\) ordnet einem Polynom vom Grad \(\leq 4\) eine \(2\times2\) Matrix basierend auf dessen Koeffizienten zu. Da die Elemente der Matrix Linearkombinationen der Koeffizienten des Polynoms sind (z.B., \(d + 2c\), \(3a + b\), etc.), erfüllt \(L_{1}\) die Bedingungen der Additivität und Homogenität. Dies liegt daran, dass die Addition zweier Polynome zur Addition ihrer entsprechenden Koeffizienten führt und die Multiplikation eines Polynoms mit einem Skalar die Koeffizienten um diesen Skalar multipliziert, was sich direkt in entsprechender Weise in den Matrixelementen widerspiegelt. Daher ist \(L_{1}\) linear.
Für \(L_{2}\):
Ähnlich wie bei \(L_{1}\) bildet \(L_{2}\) ein Polynom vom Grad \(\leq 4\) auf eine \(2\times2\) Matrix mit Elementen ab, die direkt von den Koeffizienten des Polynoms abhängen. Alle Operationen in der Zuweisung sind linear (Addition der Koeffizienten und Addition von 1 zu einem Koeffizienten ändert nicht die grundlegende Linearität), daher ist auch \(L_{2}\) linear unter der Voraussetzung, dass die Addition von 1 im Kontext der Transformation als lineare Operation bzgl. der definierten Operationen betrachtet werden kann. Allerdings, in strenger mathematischer Betrachtung, ist die Addition von 1 (im Output der Abbildung \(e+1\)) eigentlich nicht linear, weil sie die Homogenitätsbedingung verletzt. Somit ist \(L_2\) im strengen Sinne nicht linear.
b) Bestimmen Sie Kern(L1) und seine Dimension.
Der Kern einer linearen Abbildung \(L_{1}\), bezeichnet mit \(Kern(L_{1})\), umfasst alle Elemente aus dem Definitionsbereich, die auf den Nullvektor (bzw. die Nullmatrix) abgebildet werden. Das heißt, man sucht alle Polynome \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\), für die \(L_{1}\) die Nullmatrix ergibt:
\(
\left[\begin{array}{cc}
0 & 0
0 & 0
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}
d+2c & 3a+b
c-d & 2d
\end{array}\right]
\)
Setzen wir die Matrixelemente gleich 0:
1. \(d + 2c = 0\)
2. \(3a + b = 0\)
3. \(c - d = 0\)
4. \(2d = 0\)
Aus 4. folgt direkt \(d = 0\), und eingesetzt in 1. und 3. erhalten wir \(c = 0\) aus der Gleichheit von \(d\) und \(c - d\). Aus 2. folgt dann, dass \(3a + b = 0\), was bedeutet, dass, solange diese Beziehung zwischen \(a\) und \(b\) erhalten bleibt, das Polynom zum Kern gehört. Das heißt, jedes Polynom der Form \(ax^4 - 3ax^3\) gehört zum Kern. Das Element \(e\) hat auf \(L_1\) keinen Einfluss und kann frei gewählt werden, was impliziert, dass das Element unabhängig ist und zu den Basispolynomen des Kerns hinzugefügt werden kann.
Damit haben wir zwei unabhängige Freiheitsgrade (Parameter \(a\) und \(e\)), was bedeutet, dass die Dimension des Kerns \(2\) ist.
c) Bestimmen Sie dim(Bild(L1)).
Die Dimension des Bildes (oder Ranges) einer linearen Abbildung ist die Dimension des von den Bildern der Basisvektoren (hier: Basispolynome) aufgespannten Unterraums. Der Definitionsbereich von \(L_1\) hat die Dimension 5 (für die Koeffizienten \(a, b, c, d, e\)), und der Kern von \(L_1\) hat die Dimension 2, wie wir herausgefunden haben. Nach dem Rangsatz (der auch als Dimensionssatz bekannt ist) ist die Summe der Dimension des Bildes und der Dimension des Kerns gleich der Dimension des Definitionsbereichs:
\(
\text{dim(Bild(}L_1)) + \text{dim(Kern(}L_1)) = \text{dim(Definitionsbereich)}
\)
\(
\text{dim(Bild(}L_1)) + 2 = 5
\)
Daraus folgt:
\(
\text{dim(Bild(}L_1)) = 3
\)
d) Ist L1 injektiv/surjektiv/bijektiv?
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Injektivität: Eine Abbildung ist injektiv, wenn unterschiedliche Elemente des Definitionsbereichs auf unterschiedliche Elemente des Zielbereichs abgebildet werden. Da der Kern von \(L_1\) nichttriviale Elemente enthält (die Dimension des Kerns ist 2), ist \(L_1\) nicht injektiv.
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Surjektivität: Eine Abbildung ist surjektiv, wenn jeder Wert im Zielbereich durch mindestens ein Element des Definitionsbereichs erreicht wird. Ohne Information über die vollständige Struktur des Zielraums können wir über die Surjektivität nichts Abschließendes sagen, basierend auf der Dimension allein. Allerdings deutet die Dimension des Bildes \(3\) im Verhältnis zur Dimension des Zielraums (\(2 \times 2\) Matrizen, also Dimension \(4\)), darauf hin, dass \(L_1\) wahrscheinlich nicht surjektiv ist, da nicht der gesamte Zielraum erreicht wird.
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Bijektivität: Eine Abbildung ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Da \(L_1\) nicht injektiv ist (und wahrscheinlich auch nicht surjektiv), ist sie nicht bijektiv.
