Überprüfen Sie, ob die Abbildungen L_{1}, L_{2} linear sind. Bestimmen Sie Kern(L_{1}( und seine Dimension.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die beiden Abbildungen \( L_{1}, L_{2} \) :

\( \begin{array}{l} L_{1}: \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ; \quad a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \mapsto\left(\begin{array}{cc} c-2 d & 3 d \\ d+2 c & 3 a-b \end{array}\right) \\ L_{2}: \mathbb{R}_{\leq 5}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ; \quad a x^{5}+b x^{4}+c x^{3}+d x^{2}+e x+f \mapsto\left(\begin{array}{cc} c+d & 4 b-c \\ a & e+6 \end{array}\right) \end{array} \)

(a) Überprüfen Sie, ob die Abbildungen \( L_{1}, L_{2} \) linear sind.

(b) Bestimmen Sie \( \operatorname{Kern}\left(L_{1}\right) \) und seine Dimension.

(c) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}\left(\operatorname{Bild}\left(L_{1}\right)\right) \).

(d) Ist \( L_{1} \) injektiv/surjektiv/bijektiv?

Hinweis: Zur Lösung von (c) muss das Bild nicht bestimmt werden.

Ansatz/Problem:

Könnte mir jemand bei der b) behilflich sein, denn ich bin mir nicht sicher, ob die Lösung=1 oder =2 beträgt.

Ich hab den Kern(L)={ax⁴+3ax³(+e??)  | a,(e?) aus R } Mein Problem liegt bei dem Polynom, da ich ja noch das ...+e habe.

Lasse ich das im Kern einfach weg(wodurch die Lösung=1 wäre) oder gehört das noch dazu? Oder lieg ich ganz falsch?

Answer 1

Wieso solltest du das \(e\) weglassen? Wie du schon richtig erkannt hast, wird \(ax^4+3ax^3\) für jedes \(a\in\mathbb{R}\) auf die Nullmatrix abgebildet. Da das Bild aber gar nicht von dem konstanten Glied \(e\) abhängt, wird auch jedes Polynom \(ax^4+3ax^3+e\) auf die Nullmatrix abgebildet (mit beliebigem \(a,e\in\mathbb{R}\)).
Der Kern von \(L_1\) ist also \(\{ax^4+3ax^3+e\ |\ a,e\in\mathbb{R}\}\).

Comments

Wie bestimmt man hier die Dimension des Kerns ?

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Bestimme doch mal eine Basis des Kerns, die Anzahl der Elemente der Basis ist dann die Dimension.

(Später, wenn man mehr Erfahrung hat, "sieht" man auch sofort die Dimension).

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Super, das wäre dann z.B. B= (x^4+3x^3, 1)

Also ist dimKern(L)= 2.