Begründen ob folgenden sind Lineare Abbildungen und bestimmen den Kern und Dimension.

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung
an. Geben Sie für die linearen Abbildungen den Kern der Abbildung und dessen Dimension
an.

ich bin nicht ganz sicher wie man muss mit diesem Aufgabe vorankommen. Jede Hinweis wird akzeptiert, danke im Voraus.

Answer 1

Hallo

 du musst doch in jedem Fall nur überprüfen ob f(r*x)=r*f(x) und ob f(x+y)=f(x)+f(y) ist. Mit x,y hier die jeweiligen Vektoren, nicht Komponenten

wenn schon die erste Bedingung nicht gilt, wie z.B bei f1 brauchst du die zweite nicht mehr überprüfen,

Gruß lul

Comments

Hallo Lul, danke für deine Antwort.

mir ist nicht klar was meinst du mit "jeweiligen Vektoren, nich Komponenten" und auch wie man den Kern und dessen Dimension rechnet.

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Hallo

 wenn ich von f(x) rede, meine ich den Vektor x, der eine oder viele Komponenten haben kann.

2. Kern: welche Vektoren werden auf den 0 Vektor abgebildet. bei f2 offensichtlich die, , wo die erste Komponente =0 ist also x1+x2= 0 und die zweite x1+x2 +x3+x4 =0 , also x1=-x2,  und x3=-x4

also 2 Bedingungen, also 2d jetzt such dir eine Basis aus die den Bedingungen genügt ein Vorschlag wäre (1,-1,0,0) und (0,0,1,-1) ausserdem kennst du ja die dim des Bildes mit 2 und kannst daraus die dim des Kerns bestimmen

bei f4 hast du hoffentlich gesehen dass die Abbildung die Ableitung ist.

Gruß lul

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Hi Lul i will speak english in order to don't make a mistake.

Is my procedure correct?

first of all i proved that f (in this case f₂ ) is linear by proving f (λx + μy) = λf(x) + μf(y)

Now i want to calculate Ker (f) by saying that f(x) = the0vector

this leads to a linear system

 {x₁ + x₂ = 0 and

{ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0

resolving the system leads me to x1 = -x2 and x3 = -x4

1. Question is this the value of ker(f) ? if not how i calculate tha value of ker(f)? on Youtube i can only find videos showing what's the procedure to calculate the dim(ker(f)).

About the dimension:

i then wrote the linear system as the associated matrix in this case:

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

i then used the gauss algoritmus to have 0s at the bottom of the matrix and i found that the reduced matrix:

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) 

 has 1 pivot ⇒ so the dim(ker(f)) should be 1 right?

if not can you please explain what i did wrong?

2/3. Question: In the excersise is not requested to find a basis for the kernel but you wrote a procedure to calculate it. Should i do it any time that is requested to find the dimension of the kernel? 

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