Dimension und Basis von Bild und Kern

Question

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe. Vielen Dank schon mal

Aufgabe:

Geben Sie für jede der folgenden linearen Abbildungen \( L \) die Dimension und eine Basis des Bildes \( i m g(L) \) und des Kerns \( \operatorname{ker}(L) \) an.

a) \( L: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, L\left(\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ -2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3} \\ -3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3} \\ 2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}\end{array}\right) \)

b) \( L: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, L\left(\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right)\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{3}+2 x_{4} \\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{4} \\ 3 x_{1}+x_{2}+x_{3}+3 x_{4}\end{array}\right) \)

Comments

Sicher, dass das kein Duplikat ist?

https://www.mathelounge.de/user/mathflower/questions angeschaut? 

Answer 1

Aloha :)

a) Wir schreiben die Abbildungsvorschrift zunächst mit Hilfe einer Matrix.

$$L\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ -2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3} \\ -3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3} \\ 2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1x_1\\-2x_1\\-3x_1\\2x_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}0x_2\\1x_2\\2x_2\\1x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}0x_3\\2x_3\\4x_3\\2x_3\end{array}\right)$$$$L\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0\\-2 & 1 & 2\\-3 & 2 & 4\\2 & 1 & 2\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$Wir bestimmen Bild und Kern, indem wir die Abbildungsmatrix auf Dreieckform bringen und alle dazu nötigen Schritte an einer Einheitsmatrix wiederholen:$$\left(\begin{array}{r}+S_3 & &-2S_2\\\hline 1 & 0 & 0\\-2 & 1 & 2\\-3 & 2 & 4\\2 & 1 & 2\end{array}\right)    \quad    \left(\begin{array}{r}+S_3 & &-2S_2\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}\vec b_1 & \vec b_2 &\\\hline 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & 2 & 0\\4 & 1 & 0\end{array}\right)    \quad    \left(\begin{array}{r} & & \vec k_1\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & -2\\1 & 0 & 1\end{array}\right)$$Wir lesen die gesuchten Basen ab:$$\operatorname{img}(L)=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\1\\4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\2\\1\end{pmatrix}\right)\quad;\quad\operatorname{ker}(L)=\left(\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}\right)$$

b) Auch hier schreiben wir die Abbildungsvorschrift zuerst als Matrix.

$$L\left(\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right)\right)\!=\!\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{3}+2 x_{4} \\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{4} \\ 3 x_{1}+x_{2}+x_{3}+3 x_{4}\end{array}\right)\!=\!\left(\begin{array}{r}1x_1\\2x_1\\3x_1\end{array}\right)\!\!+\!\!\left(\begin{array}{c}0\\x_2\\x_2\end{array}\right)\!\!+\!\!\left(\begin{array}{c}x_3\\0\\x_3\end{array}\right)\!\!+\!\!\left(\begin{array}{r}2x_4\\1x_4\\3x_4\end{array}\right)$$$$L\left(\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 1 & 2\\2 & 1 & 0 & 1\\3 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)$$Wir bestimmen wieder Bild und Kern:$$\left(\begin{array}{r}& & -S_1 & -2S_1\\\hline1 & 0 & 1 & 2\\2 & 1 & 0 & 1\\3 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)    \quad    \left(\begin{array}{r}& & -S_1 & -2S_1\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}-2S_2& & +2S_2 & +3S_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\2 & 1 & -2 & -3\\3 & 1 & -2 & -3\end{array}\right)    \quad    \left(\begin{array}{r}-2S_2& & +2S_2 & +3S_2\\\hline 1 & 0 & -1 & -2\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}\vec b_1 & \vec b_2 & & \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)    \quad    \left(\begin{array}{r}& & \vec k_1 & \vec k_2\\\hline 1 & 0 & -1 & -2\\-2 & 1 & 2 & 3\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Wir lesen die gesuchten Basen ab:$$\operatorname{img}(L)=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right)\quad;\quad\operatorname{ker}(L)=\left(\begin{pmatrix}-1\\2\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2\\3\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$

Answer 2

Hallo stelle die Matrix auf, dem du die Bilder der Standardeinheitsvektoren als Spalten benutzt, dann wie üblich  Kern und Bild bestimmen.

 aber den Kern kannst du auch einfach finden, wenn du feststellst, was auf (0,0,0,0) abgebildet wird. also x1=0 ,2x2+4x3=0  also r*(0,2,-1)  also dim(kern)= 1  deshalb  dim(Bild)=?

entsprechend bei b)

Gruß lul