Berechnen Sie Kern, Dimension und Bild der durch die Matrix A beschriebenen linearen Abbildung.

Question

Gegeben sei die Matrix $$A = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 &4&6\end{pmatrix}$$

a) Berechnen Sie den Kern von A.

b)  $$x = \begin{pmatrix} 1\\-1 \\2 \end{pmatrix}$$ ist eine Lösung von $$Ax = \begin{pmatrix} 15\\5 \\10 \end{pmatrix}$$ (muss nicht nachgeprüft werden). Wie sieht die allgemeine Lösung von $$Ax=\begin{pmatrix} 15\\5 \\10 \end{pmatrix}$$ aus?

c) Geben Sie die Dimension des Bildes von A an. Für welche \(b \in \mathbb{R}^3\) hat das LGS \(Ax = b\) mindestens eine Lösung? Begründen Sie, ob die Lösung in diesen Fällen eindeutig ist.

Problem:

Ich habe alles soweit durchgerechnet, hatte aber zwischendrin ein paar Fehler gemacht, und nach langem Überlegen komme ich einfach auf keine sinnvolle Lösung. Ich brauch dringend Hilfe. Könnte es bitte jemand einmal ausführlich durchgehen? So dass ich es nachvollziehen kann und es endlich verstehe.

Vielen, vielen Dank schonmal im Voraus.

Answer 1

1.) Den Kern erhält man aus der Lösung von \(Ax = 0\), d.h. es ist das homogene LGS zu lösen, dessen Lösung folgende ist: \(x_1 = -3s-2t, x_2 = t, x_3 = s\) also

$$ x = \begin{pmatrix} -3s-2t \\ t \\s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} -3\\ 0 \\1 \end{pmatrix}s $$

damit dann

$$ kern(A) = \left(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -3\\ 0 \\1 \end{pmatrix}\right)$$

2.) Das Bild der Matrix A sind die linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix. Beim Gauß-Jordan ist das Ergebnis folgendes:

3 6 9
0 0 0
0 0 0

damit habe ich ein Pivot-Element gleich in der erste Spalte gefunden mit anderen Worten der erste Spaltenvektor von A (ursprüngliche Matrix A) ist das Bild der Matrix, also Bild $$ img(A) = \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) $$ dessen Dimension 1 ist.

Answer 2

Hallo
der bessere Weg: du zeigst uns deine Lösungen, wir suchen deine Fehler. wie kannst du Lösungen als nicht sinnvoll entlarven?

Hast du den Kern , er ist 2d daraus ergibt sich b)
und c )  1. mit dem Rangsatz 2. mit dem Rang der erweiterten Matrix.

Answer 3

Noch ein paar Bemerkungen:

Offenbar sind die Zeilen der Matrix alle Vielfache der 2-ten Zeile, also

\(x_1=-2x_2-3x_3\), woraus man sofort eine Basis ablesen kann:

\(x_2=1,x_3=0\) setzen und \(x_2=0,x_3=1\) setzen.

Da die Matrix den Rang 1 hat (Spaltenrang=Zeilenrang),

wird das Bild bereits von der ersten Spalte der Matrix erzeugt.