Kern & Bild einer linearen Abbildung

Question

ich soll nun den Kern und das Bild einer linearen Abbildung bestimmen.

Nun habe ich die Gleichungen aufgestellt und zwar so:

(I) 8x1 = 0

(II) 3x1 - 4x2 = 0

Durch umformen bin ich darauf gekommen, dass x1 = 0 ist, dies in die zweite Formel gesteckt würde es x2 = 0 ergeben, somit wäre ja der Kern(L) = {(0,0)}, also der Nullvektor, somit wäre ja die Dimension 1.

Aber habe ich das richtig berechnet? Oder ist da etwas falsch?

Und wie berechne ich das Bild dieser linearen Abbildung?

Laut Dimensionssatz wäre die Dimension von dem Bild 1. Aber wie berechne ich die Vektoren für das Bild?

Answer 1

besteht der Kern nur aus dem Nullvektor (man sagt auch der Kern ist trivial) so ist seine Dimension 0. Hat sich damit auch alles andere für dich geklärt?

Gruß

Answer 2

Der Nullvektor einer Linearen Abbildung ist immer im Kern enthalten. Also hat dein Kern die Dimension 0.

Zum Bild. Nehme dir einen  allgemeinen Vektor (x1,x2) und schicke diesen auf die Abbildung.

Das was rauskommt ist f(x1,x2) . Und das ist ja grade das Bild wenn ich mich nicht irre.

Comments

Oh, okay.

Bedeutet dies, dass die Dimension von dem Bild 2 ist oder?

Weil laut Dimensionssatz wäre ja dim(Kern(L)) + dim(Bild(L) = dim(R)

Kern ist ja somit 0 und die Dimension von R ist 2. Somit wäre die Dimension von dem Bild 2, richtig?

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Ja. Bestimme das Bild, dann siehst du es ja .