Dimension von Kern & Bild einer linearen Abbildung

Question

1) V=Abb(R,R). Zeigen Sie, dass Φ: V -> V, definiert durch Φ(f): x -> f(x^2), linear ist.

2) Bestimmen Sie die Dimension von Kern(Φ) und von Bild(Φ)

3) Gilt Kern(Φ) ⊕ Bild(Φ) = V

4) Zeigen Sie, dass U= {f ∈ V | für alle x,y ∈ R gilt: Aus xy > 0 folgt f(x)=f(y)} ein UVR von V ist und bestimmen Sie die Dimension Φ(U).

Meine Ansätze:

zu 1)  i) Φ(f+g)(x)=(f+g)(x^2)=f(x^2)+g(x^2)=Φ(f(x))+Φ(g(x))

ii) Φ(λ⋅f(x))=λ⋅f(x^2)=λ⋅Φf(x)

bei 2) weiß ich leider nicht weiter, weil ich mir gar nicht vorstellen kann, wie der Kern und das Bild von der Abbildung Φ auszusehen hat :/ dementsprechend weiß ich bei 3) auch nicht weiter

zu 4): i) U ist nicht leer, da für f ∈ V und x,y ∈ R folgt, dass für irgendein xy>0 gilt: f(x)=0=f(y), also ist die Nullabbildung in U enthalten

ii) f,g ∈ U, dann folgt für xy>0, dass auch (f+g)(x)=(f+g)(x), also f(x)+g(x)=f(y)+g(y), somit ist f+g ∈ U

iii) λ ∈ R, dann folgt für xy>0, dass auch λf(x)=λf(y), für λ beliebig, da auch bei negativen Zahlen Gleichheit gilt

bei der Frage nach der Dimension von Φ(U) bin ich leider ratlos

Answer 1

2) Bestimmen Sie die Dimension von Kern(Φ) und von Bild(Φ).

Vielleicht kann man so vorgehen ???

Für den Kern muss man ja wohl überlegen:  Für welche f gilt  Φ(f) = 0 (Nullabbildung)

Nun ist ja Φ(f) = f o id² 

und wenn dabei 0 herauskommt, muss das f eine Funktion sein, die für alle

z≥0 die Bedingung f(z)=0 erfüllt.   Also kann die Funktion für

negative x-Werte irgendwelche Funktionswerte haben.

Also ist dim(Kern(Φ)) = ∞ .

Und in Bild(Φ) liegen wohl alle Funktionen mit f(x)=f(-x),

also ist hier auch  dim = ∞.