dim kern und dim bild matrix

Question

B=   1   1   -2

        -2    -1   1

        0     1   -3

Bestimme dim kern und dim bild.

erkennbar ist dass die vektoren linearunabhängig sind da sie jeweils kein vielfaches eines anderen vektros sind.

Answer 1

Hallo Samira,

lineare Unabhängigkeit ist keine Eigenschaft einzelner Vektoren, sondern einer Menge von Vektoren.

Wenn jeweils zwei von drei Vektoren linear unabhängig sind, bedeutet das noch nicht, dass die Gesamtmenge der drei Vektoren linear unabhängig ist. Lineare Unabhängigkeit ist keine Eigenschaft einzelner Vektoren, sondern einer Menge von Vektoren.

A  →    II = 2*I + II

⎡ 1  1  -2 ⎤

⎢ 0  1  -3 ⎥

⎣ 0  1  -3 ⎦

→    III = II - III

⎡ 1  1  -2 ⎤

⎢ 0  1  -3 ⎥

⎣ 0  0   0 ⎦

Der Rang der Matrix ist 2, deshalb ist die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren 2

→ dim(Bild) = 2   →    dim(Kern) =  dim(V) - dim(Bild) = 3 - 2 = 1 

Gruß Wolfgang

Answer 2

erkennbar ist dass die vektoren linearunabhängig sind da sie jeweils kein vielfaches eines anderen vektros sind.

Das ist kein Kriterium für die lineare Unabhängkeit von drei Vektoren!