Lineare Algebra. f(x1,x2,x3,x4):=(x1+x2+x3, x1-x3, 2x1+x2). Beh. f ist linear. Suche Basis und Dim von Bild und Kern.

Question

Aufgabe:

Für eine natürliche Zahl \( m \) sei \( \mathbb{R}^{m}=\operatorname{Mat}(m \times 1, \mathbb{R}) \)
(1) Sei \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) definiert durch
$$ f\left(\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \\ {x_{4}} \end{array}\right):=\left(\begin{array}{c} {x_{1}+x_{2}+x_{3}} \\ {x_{1}-x_{3}} \\ {2 x_{1}+x_{2}} \end{array}\right) $$
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung \( f \) linear ist.
(b) Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von Bild(f).
(c) Bestimmen Sie die Dimension von Kern(f).

Mein Ansatz für a:

Um zu beweisen, dass die Abbildung f linear ist, muss ich doch zu erst zeigen dass:

(i) F (x+y) = F(x) + F(y)

(ii) F (λx) = λ F(x), λ ∈ ℝ

Wie zeige ich das denn?

Answer 1

Lineare Algebra. f(x1,x2,x3,x4):=(x1+x2+x3, x1-x3, 2x1+x2). Beh. f ist linear. Suche Basis und Dim von Bild und Kern.

Betrachte die Abbildungsmatrix A:=

(1,1,1,0
1,0,-1,0
2,1,0,0)

Überzeuge dich davon, dass sie f beschreibt. Da es sich um eine 'gewöhliche' Matrix handelt, ist die Abbildung f linear.
Diese Matrix hat den Rang 2, da die dritte Zeile die Summe der ersten beiden ist. und die ersten beiden Zeilen lin unabh. sind.

Die Dimension des Bildes ist 2. Basis des Blides sind z.B. die linear unabh. Vektoren a=(1,2,2) und b=(1,0,1).

Daher ist die Dimension des Kerns 4-2 also auch 2.
Ein Element des Kerns ist bestimmt der Vektor (0,0,0,1).

Comments

Hey danke, mir hilft das auch weiter :)

um die linearität zu prüfen kann ich doch diese Seite benutzen und einfach meine werte übertragen oder?

http://www.mathe-online.at/materialien/martin.glatz/files/EinfidlinAlg/4linabb/Aufg4-2.pdf

Hab da noch 2 fragen an dich:

1) ist Dimension = rangß

2) kannst du mir vielleicht genau erklären wie du das mit der Dimension und basis bestimmt hast?

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um die linearität zu prüfen kann ich doch diese Seite benutzen und einfach meine werte übertragen oder? 

http://www.mathe-online.at/materialien/martin.glatz/files/EinfidlinAlg/4linabb/Aufg4-2.pdf

Ja. Wenn du das nachrechnen möchtest. Hast du den Hinweis auf dem Seitenumbruch in der Lösung von Aufgabe 2 gesehen? Dort steht, dass Matrixmultiplikation mit Vektoren aus R^n lineare Abbildungen sind. Eine passende Abbildungsmatrix genügt daher um die Linearität zu zeigen, vorausgesetzt, dass ihr den Hinweis benutzen dürft.

1) ist Dimension = rangß?

Kann ich so nicht beantworten. Dimension von WAS ist Rang von WAS? 

1) ist Dimension von Bild(f) = rangA.  (Ich hatte die Abbildungsmatrix mit A bezeichnet)

Ja. Diese Matrix hat den Rang 2, da die dritte Zeile die Summe der ersten beiden ist. und die ersten beiden Zeilen lin unabh. sind. ==> Die Dimension des Bildes ist 2.

2) kannst du mir vielleicht genau erklären wie du das mit der Dimension und basis bestimmt hast?
Ich habe nicht mehr gemacht als hier steht.
Die Bilder der Basisvektoren stehen immer in den Spalten der Abbildungsmatrix.
Wenn man weiss, dass das Bild die Dimension 2 hat, kann man 2 beliebige lin. unabh. Spaltenvektoren nehmen. Die spannen das ganze Bild auf und sind daher eine mögiiche Basis des Bildes von f.

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Oke dankeschön hab jetzt alles berechnet

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Schön. Das sollte ja dann genug genau sein.