Lineare Abbildungen beweisen, Kern, Bild und Dimension bestimmen

Question

Aufgabe: Folgende Vektoren sind im ℝ³ gegeben:

v₁= \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ; v₂= \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) ;  v₃= \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \) ;

w₁=\( \begin{pmatrix} -1\\1\\2 \end{pmatrix} \) ;   w₂= \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \) ; w₃= \( \begin{pmatrix} 4\\1\\-3 \end{pmatrix} \)

Beweisen, dass es genau eine lineare Abbildung Φ: ℝ³ → ℝ³ gibt mit Φ(v_i) = w_i für i = 1,2,3 und Kern Φ, Bild Φ und deren Dimensionen bestimmen.

Problem/Ansatz: Ich weiß nicht, wie ich es beweisen und bestimmen kann? Muss ich es als Matrix schreiben und mit Null als Lösungsspalte durch den Gaußalgorithmus lösen und wie geht es dann weiter oder ist der Ansatz ganz falsch?

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildungsmatrix \(\Phi\) muss Folgendes bewirken:$$\Phi\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\Phi\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\Phi\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix}$$Das fassen wir in einer Matrix-Gleichung zusammen:$$\Phi\cdot\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 2\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 4\\1 & 0 & 1\\2 & -1 & -3\end{array}\right)$$Wenn es genau eine lineare Abbildung \(\Phi\) geben soll, müssen wir daraus die Abbildungsmatrix \(\Phi\) eindeutig bestimmen können:$$\Phi=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 4\\1 & 0 & 1\\2 & -1 & -3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 2\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}$$Das heißt, die inverse Matrix muss existieren. Da die Determinante der zu invertierenden Matrix \(=2\) und damit \(\ne0\) ist, existiert die Inverse und \(\Phi\) ist eindeutig bestimmt:$$\Phi=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0\\-2 & 2 & -1\end{array}\right)$$

Das Bild dieser Matrix finden wir, indem wir mittels elementarer Spalten-Operationen die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren rausrechnen.$$\begin{array}{rrr}-2S_3 & +S_3 & \\\hline2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0\\-2 & 2 & -1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} & \vec b_1 & \vec b_2 \\\hline0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 1 & -1\end{array}$$Damit haben wir das Bild von \(\Phi\) gefunden:$$\operatorname{Bild}(\Phi)=\left(\;\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\;\right)\quad;\quad\operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(\Phi))=2$$

Zum Auffinden des Kerns, lösen wir das homogene Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & -1 & 1 & 0 &\\0 & 1 & 0 & 0 &\\-2 & 2 & -1 & 0 &+Z_1\\\hline2 & -1 & 1 & 0 &+ Z_2\\0 & 1 & 0 & 0 &\\0 & 1 & 0 & 0 &-Z_2\\\hline2 & 0 & 1 & 0 &2x_1+x_3=0\\0 & 1 & 0 & 0 & x_2=0\\0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\end{array}$$Die letzte Gleichung ist immer erfüllt, die beiden verbliebenen Gleichungen sind \(x_3=-2x_1\) und \(x_2=0\), sodass wir den Lösungsraum angeben können:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\0\\-2x_1\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$$Damit haben wir den Kern gefunden:$$\operatorname{Kern}(\Phi)=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\quad;\quad\operatorname{dim}(\operatorname{Kern}(\Phi))=1$$