Abbildungen R-linear? Welche Dimension haben für die R-linearen Abbildungen jeweils Kern und Bild

Question

habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe. Eigentlich sind 5 Abbildungen gegeben, ich habe hier mal zwei rausgesucht, damit es nicht zu viel ist.

Welche der folgenden Abbildungen sind R-linear? Welche Dimension haben für die R-linearen

Abbildungen jeweils Kern und Bild?

f: ℝ^2--->ℝ^3                            ℝ^2 ----> ℝ^3

(x y)  I---->  (0 y 0)                  (x y) I----> (x+y  x+y  x+y)

Mein erster Ansatz war, dass ich vielleicht einfach mal die 1 reinwerfe für x und y. Dann hätte ich bei der ersten Abbildung (1 1) I----> (0 1 0).

Keine Ahnung, ob das richtig ist und wenn ja wie es weitergeht. Wäre über Hilfe dankbar. .

Answer 1

> (x y)  I---->  (0 y 0)

Gilt f(r·(x y)) = r·(0 y 0) und f((x y) + (p q)) = (0 y 0) + (0 q 0) egal was du für r, x, y, p, q wählst? Dann ist die Abbildung linear.

Es ist r·(x y) = (rx ry). Also ist f(r·(x y)) = (0 ry 0) = r·(0 y 0).

Es ist (x y) + (p q) = (x+p y+q). Also ist f((x y) + (p q)) = (0 y+q 0) = (0 y 0) + (0 q 0).

Somit ist f linear.

Kern f = {(x y) ∈ ℝ² | (0 y 0) = (0 0 0)}. Also ist dim Kern f = 1.

dim Bild f bekommst du über den Dimensionssatz

        f: V → W linear ⇒ dim Kern f + dim Bild f = dim V.