Aloha :)
Schreibe die Matrix \(A\) hin und daneben eine quadratische Einheitsmatrix mit so vielen Spalten wie die Matrix \(A\) hat. Dann bringe die Matrix \(A\) auf Stufenform und führe alle dazu notwendigen Schritte auch an der Matrix daneben durch. Am Ende erhalten wir eine Basis des Bildes und eine Basis des Kerns:
$$\left(\begin{array}{r}&-2S_1 & -3S_1 & -4S_1\\\hline1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 & 5 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}&-2S_1 & -3S_1 & -4S_1\\\hline1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}+S_4& -2S_3& -2S_4& \cdot(-1)\\\hline1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & -2 & -1 \\ 1 & -2 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}+S_4& -2S_3& -2S_4& \cdot(-1)\\\hline1 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}+S_2& :2& -S_2& -S_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 & -1 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}+S_2& :2 & -S_2& -S_2\\\hline-3 & 4 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}\vec b_1&\vec b_2 & &\vec b_3 \\\hline1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}& & \vec k_1& \\\hline1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0,5 & -1 & -1 \\ -2 & -1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & -2 & -1 \end{array}\right)$$Wir finden 3 Basisvektoren des Bildes und einen Basisvektor des Kerns. Damit ist die Dimension der Matrix \(3\) und die Dimension des Kerns \(1\).
$$\left(\begin{array}{r}& -2S_1 & -3S_1\\\hline1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ -3 & -2 & -7 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}& -2S_1 & -3S_1\\\hline1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}& :4 & -\frac{1}{2}S_2\\\hline1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & -2 \\ 2 & -4 & -2 \\ -3 & 4 & 16 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}& :4 & -\frac{1}{2}S_2\\\hline1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}& \cdot(-1)& :14\\\hline1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 14 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}& \cdot(-1)& :14\\\hline1 & -0,5 & -2 \\ 0 & 0,25 & -0,5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}-S_2+2S_3& +S_3 & \\\hline1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 1 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}-S_2+2S_3& +S_3 & \\\hline1 & 0,5 & -1/7 \\ 0 & -0,25 & -1/28 \\ 0 & 0 & 1/14 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}\vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 \\\hline1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\quad;\quad\frac{1}{28}\left(\begin{array}{r} & & \\\hline6 & 10 & -4 \\ 5 & -8 & -1 \\ 4 & 2 & 2 \end{array}\right)$$Wir finden 3 Basisvektoren des Bildes und keinen Basisvektor des Kerns. Damit ist die Dimension der Matrix \(3\) und die Dimension des Kerns \(0\).
