Question

Bestimmen Sie jeweils eine Basis von Kern und Bild derjenigen linearen Abbildungen, die durch folgende Matrizen definiert werden. Überprüfen Sie die Dimensionsformel für diese Beispiele.

A = $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}$ ∈ R^4x4 , B = $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ -3 & -2 & -7 \end{pmatrix}$ ∈ R^4x3

Answer 1

Aloha :)

Schreibe die Matrix $A$ hin und daneben eine quadratische Einheitsmatrix mit so vielen Spalten wie die Matrix $A$ hat. Dann bringe die Matrix $A$ auf Stufenform und führe alle dazu notwendigen Schritte auch an der Matrix daneben durch. Am Ende erhalten wir eine Basis des Bildes und eine Basis des Kerns:

$$\left(\begin{array}{r}&-2S_1 & -3S_1 & -4S_1\\\hline1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 & 5 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}&-2S_1 & -3S_1 & -4S_1\\\hline1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}+S_4& -2S_3& -2S_4& \cdot(-1)\\\hline1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & -2 & -1 \\ 1 & -2 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}+S_4& -2S_3& -2S_4& \cdot(-1)\\\hline1 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}+S_2& :2& -S_2& -S_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 & -1 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}+S_2& :2 & -S_2& -S_2\\\hline-3 & 4 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}\vec b_1&\vec b_2 & &\vec b_3 \\\hline1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}& & \vec k_1& \\\hline1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0,5 & -1 & -1 \\ -2 & -1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & -2 & -1 \end{array}\right)$$Wir finden 3 Basisvektoren des Bildes und einen Basisvektor des Kerns. Damit ist die Dimension der Matrix $3$ und die Dimension des Kerns $1$.

$$\left(\begin{array}{r}& -2S_1 & -3S_1\\\hline1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ -3 & -2 & -7 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}& -2S_1 & -3S_1\\\hline1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}& :4 & -\frac{1}{2}S_2\\\hline1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & -2 \\ 2 & -4 & -2 \\ -3 & 4 & 16 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}& :4 & -\frac{1}{2}S_2\\\hline1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}& \cdot(-1)& :14\\\hline1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 14 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}& \cdot(-1)& :14\\\hline1 & -0,5 & -2 \\ 0 & 0,25 & -0,5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}-S_2+2S_3& +S_3 & \\\hline1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 1 \end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}-S_2+2S_3& +S_3 & \\\hline1 & 0,5 & -1/7 \\ 0 & -0,25 & -1/28 \\ 0 & 0 & 1/14 \end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}\vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 \\\hline1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\quad;\quad\frac{1}{28}\left(\begin{array}{r} & & \\\hline6 & 10 & -4 \\ 5 & -8 & -1 \\ 4 & 2 & 2 \end{array}\right)$$Wir finden 3 Basisvektoren des Bildes und keinen Basisvektor des Kerns. Damit ist die Dimension der Matrix $3$ und die Dimension des Kerns $0$.