Die vi sind l.u.
Sei v ein beliebiger Vektor aus ℝ3. Dann hat er genau eine Darstellung durch die Basisvektoren, also
v=av1 + bv2 +cv3. Dieses v hat genau einen Bildvektor w=aw1 + bw2 +cw3.. T ist also eine eindeutige Abb.
also a): Ja!
b) Bild(T) ist die Menge aller Linearkomb. der wi. Die 3 wi kannst du nach Steinitz durch die 2 Vektoren \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) ersetzen:
\( \begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 2\\0\\-2 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 6\\1\\-5 \end{pmatrix} \)
bilden ein "Erzeugnis", den Vektorraum aller ihrer Linearkomb. Ersetze w1 durch w1 + w2 und schon wird es einfacher.
\( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 2\\0\\-2 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 6\\1\\-5 \end{pmatrix} \)
Ersetze w3' durch w3' - 3*w2 und teile w2' durch 2 schon wird es einfacher.
\( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)
Ersetze w1'' durch w1'' - w3''
\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)
Der Nullvektor trägt nichts bei zum Erzeugnis, lass ihn weg. Übrig bleiben 2 l.u. Vektoren.
Sie haben das gleiche 2-dimensionale Erzeugnis, nämlich Bild(T). Also gibt es einen Vektor v, dessen Vielfache durch T auf den Nullvektor abgebildet werden. Also ist der Kern(T) eindimensional, denn
dim(Kern) + dim(Bild) = 3