Bestimmen Sie f(2 x) . Bestimmen Sie dim(Bild(f)). Geben Sie eine Basis von Kern(f) an.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es seien die folgenden Basen des \( \mathbb{R}[x]_{\leq 1}=\{a x+b \mid a, b \in \mathbb{R}\} \) gegeben:
\( \mathcal{B}_{1}=\{x+3,1\}, \quad \mathcal{B}_{2}=\{-2 x+1, x+2\} . \)
Außerdem sei die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}[x]_{\leq 1} \rightarrow \mathbb{R}[x]_{\leq 1} \) durch die folgenden Bilder gegeben
\( f(x+3)=-2 x+1, \quad f(1)=x+2 . \)
a) Bestimmen Sie \( f(2 x) \).
b) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(f)) \).
c) Geben Sie eine Basis von \( \operatorname{Kern}(f) \) an.
d) Bestimmen Sie \( f_{\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2}} \).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe helfen? Ich habe mein Unterricht verpasst, weil ich krank war, und ich kann diese Aufgabe nicht lösen.

Comments

Tschakabumba, ich würde mich sehr freuen, wenn du mir helfen könntest. Deine Antworten sind hilfreicher.

Answer 1

Aloha :)

Besser als mathef kann man das eigenlich kaum noch beantworten. Ich könnte dir höchstens noch vorführen, wie man solche Problemstellungen ganz allgemein angeht.

Allgemein würde man hier mit der Standardbasis \(S=(1;x)\) für lineare Funktionen arbeiten.

Wir kennen die Wirkung der linearen Funktion \(f\) auf zwei Elemente und können daraus die Abbildungsmatrix \({_S}F_S\) bezüglich der Standardbasis bestimmen:$$f(x+3)=-2x+1\quad\implies\quad {_S}F_S\binom{3}{1}=\binom{1}{-2}$$$$f(1)=x+2\quad\implies\quad {_S}F_S\binom{1}{0}=\binom{2}{1}$$Wir fassen beide Gleichungen zu einer Matrix-Gleichung zusammen:$${_S}F_S\left(\begin{array}{r}3 & 1\\1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 2\\-2 & 1\end{array}\right)$$und bestimmen daraus die Abbildungsmatrix:$${_S}F_S=\left(\begin{array}{r}1 & 2\\-2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}3 & 1\\1 & 0\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{r}2 & -5\\1 & -5\end{array}\right)$$

Damit sind die Fragen nun schnell beantwortet:

$$\text{zu a)}\quad{_S}F_S\binom{0}{2}=0\cdot\binom{2}{1}+2\cdot\binom{-5}{-5}=\binom{-10}{-10}\implies f(2x)=-10-10x$$

zu b) Die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix \({_S}F_S\) sind linear unabhängig, daher ist die Dimension des Bildraums \(2\).

zu c) Wegen der linearen Unabhängigkeit der Spaltenvektoren in der Abbildungsmatrix wird nur \(\binom{0}{0}\) auf \(\binom{0}{0}\) abgebildet. Der Kern besteht also nur aus dem Nullvektor und hat damit die Dimension \(0\).

zu d) Die Basen \(B_1\) und \(B_2\) sind bezüglich der Standardbasis \(S\) angegeben, wir kennen daher die Transformationsmatrizen von \(B_1\) nach \(S\) und von \(B_2\) nach \(S\).$${_S}\operatorname{id}_{B_1}=\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\1 & 0\end{array}\right)\quad;\quad {_S}\operatorname{id}_{B_2}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\-2 & 1\end{array}\right)$$

Damit kannst du die Abbildungsmatrix, die Eingangsvektoren in der Basis \(B_1\) erwartet und Ausgangsvektoren in der Basis \(B_2\) liefert, wie folgt bestimmen:$${_{B_2}}F_{B_1}={_{B_2}}\operatorname{id}_S\cdot{_S}F_S\cdot{_S}\operatorname{id}_{B_1}=\left({_S}\operatorname{id}_{B_2}\right)^{-1}\cdot{_S}F_S\cdot{_S}\operatorname{id}_{B_1}$$$$\phantom{{_{B_1}}F_{B_2}}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\-2 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{rr}2 & -5\\1 & -5\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$

Answer 2

\(f(x+3)=-2 x+1, \quad f(1)=x+2 . \)

Für a) verwende die Linearität von f:

  \(f(x)=f(x+3 - 3\cdot 1 )=f(x+3) - 3f(1 )\)
           \(= -2x+1 -3(x+2) = -5x-5\)

==>     \(f(2x)=2f(x)=-10x-10\)

Bild(f) wird erzeigt von \(-2 x+1 \text{ und }x+2  \)

ist also ganz \(  \mathbb{R}[x]_{\leq 1}  \)

Somit dim(Bild(f))=2 .

==>   dim(Kern(f)) = 0  also Basis ∅.

Die Bilder der Basisvektoren von \(\mathcal{B}_{1} \)  sind die

Basisvektoren von \(\mathcal{B}_{2} \)

  ==>  \( f_{\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)