Geben Sie eine Basis von im f an und bestimmen Sie dim im f und dim ker f

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Linearformen
f₁ : ℝ⁵ → R,(x₁, . . . , x₅) → x₂ + x₃ + x₄ + x₅
f₂ : ℝ⁵ → R,(x₁, . . . , x₅) → x₁ + 2x₂ − x₃ − x₄
f₃ : ℝ⁵ → R,(x₁, . . . , x₅) → 5x₁ + 2x₂ − x₃ + 2x₄ − 2x₅
f₄ : ℝ⁵ → R,(x₁, . . . , x₅) → x₁ − x₂ + x₄ − x₅.
a) Gegeben sei die ℝ-lineare Abbildung f : ℝ⁵ → ℝ⁴ , x → (f₁(x), f₂(x), f₃(x), f₄(x)).
Geben Sie eine Basis von im f an und bestimmen Sie dim im f und dim ker f.
b) Prüfen Sie, ob (f₁, f₂, f₃, f₄) ein linear unabhängiges System im Dualraum (R5)∗ bildet.

Problem:

Ich hätte gedacht, dass man das durch eine geeignete Matrix lösen könnte, allerdings finde ich keine...

Answer 1

Aloha :)

Vielleicht hilft ja diese Matrix weiter...$$\vec x\mapsto\begin{pmatrix}f_1(\vec x)\\f_2(\vec x)\\f_3(\vec x)\\f_4(\vec x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_2+x_3+x_4+x_5\\x_1+2x_2-x_3-x_4\\5x_1+2x_2-x_3+2x_4-2x_5\\x_1-x_2+x_4-x_5\end{pmatrix}$$$$\vec x\mapsto x_1\left(\begin{array}{r}0\\1\\5\\1\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{r}1\\2\\2\\-1\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{r}1\\-1\\-1\\0\end{array}\right)+x_4\left(\begin{array}{r}1\\-1\\2\\1\end{array}\right)+x_5\left(\begin{array}{r}1\\0\\-2\\-1\end{array}\right)$$$$\vec x\mapsto\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 2 & -1 & -1 & 0\\5 & 2 & -1 & 2 & -2\\1 & -1 & 0 & 1 & -1\end{array}\right)\vec x$$

Mit dieser Matrix finde ich folgende Basen:$$\text{Bild}(f)=\left(\;\left(\begin{array}{r}0\\1\\2\\0\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\0\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{r}0\\0\\3\\1\end{array}\right)\;\right)$$$$\text{Kern}(f)=\left(\;\left(\begin{array}{r}-1\\1\\1\\0\\-2\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{r}-4\\3\\0\\2\\-5\end{array}\right)\;\right)$$

Comments

dankeschön^^