Kern, dim(Bild) bestimmen und Linearität überprüfen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien beiden Abbildungen \( L_{1}, L_{2} \)

$$ \begin{array}{l} {L_{1}: \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ; \quad a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \mapsto\left[\begin{array}{cc} {2 a+b} & {c+e} \\ {e} & {a+b-d} \end{array}\right]} \\ {L_{2}: \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ; \quad a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \mapsto\left[\begin{array}{cc} {2 a} & {a} \\ {c+e} & {d+1} \end{array}\right]} \end{array} $$

a) Überprüfen Sie, ob die Abbildungen \( L_{1}, L_{2} \) linear sind.

b) Bestimmen Sie Kern ( \( L_{1} \) ) und seine Dimension.

c) Bestimmen Sie \( \dim(Bild(L_{1} ) ) \).

d) Ist \( L_{1} \) injektiv/surjektiv/bijektiv?

Hinweis: Zur Lösung von c) muss das Bild nicht bestimmt werden.

Answer 1

a)

L₁ ist linear. Dazu:

L( m ( a1x4 + b1x3+ ... + e1 ) ) m in klammer rein ziehen, Matrix hinschreiben, m rausziehen und es kommt raus m L₁(...)

L₁ ( ( a₁x⁴ + b₁x³+ ... + e₁ )  +  ( a₂x⁴ + b₂x³ + ... + e₂) ) einsetzen und trennen. Dann kommt raus:

 

L₂ ist nicht linear, da die zweite Bedingung nicht erfüllt ist

 

b)

der Kern ist Kern(L₁) := { (-b/2) x⁴ + bx³ + (b/2) x  |  b element R }

Der Kern besteht nur aus einem Element, daher ist seine Dimension 1.

 

c)

https://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz

Die Dimension des Bildes von L₁ lässt sich durch die Dimensionsregel bestimmen.

Sie sagt:  dim im(L₁)  + dim Kern(L₁) = dim Ursprungsraum = 5

dim Kern(L₁) = 1, daher ist dim im(L₁) = 4

 

d)

injektiv kann es ja nicht sein. Der Kern ist ja schon nicht Null UND:

dim Ursprungsraum = 5, dim Zielraum = 4

 

jetzt kann es auch nicht mehr bijektiv sein, da dazu es auch injektiv sein muss.

 

Subjektiv ist die Abbildung, da dim im(L₁) = 4

Comments

Kannst du bitte a) näher erläuterm, ich versteh nicht den weg :/ und wie kommst du drauf das dass dim Kern(L1) = 1 ist bzw. auf  Kern(L₁) := { (-b/2) x⁴ + bx³ + (b/2) x ? dim Ursprungsraum ist ja 5 weil wir a,b,c,d,e haben oder?

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Sicher. Aber ich habe nicht die Geduld es hier einzugeben, daher schicke ich den Weg per Bilder.

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Der Satz "Der Kern besteht nur aus einem Element, daher ist seine Dimension 1." ist purerUunfug.

Es gibt  (bis auf Isomorphie) nur einen Vektorraum mit 1 Element, nämlich {0}. Und der Vektorraum hat Dimension 0.

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Ja, du hast recht.

 

Ich hätte schreiben sollen:

Der Kern wird nur durch ein einziges Element aufgespannt, daher ist  dim Kern(L₁) = 1.

 

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