Welche der folgenden Abbildungen sind R-linear? Welche Dimension haben für die R-linearen Abbildungen jeweils Kern und Bild?
f: R2 →R3 (x,y) ↦(0,x,0)
ist R-linear; denn f((a,b)+(c,d))= f(a+c,b+d)
= (0,a+c,0)= (0,a,0)+(0,c,0)= f(a,b)+f(c,d).
entsprechend für f( x*(a,b) ) = ...= x*f(a,b)
Kern sind alle, die auf (0,0,0) abgebildet werden, das sind
( 0,y) mit y aus R, also dim(Kern) = 1
Wegen Dim-Satz, also dim(Bild)=1 . Kann man aber
auch leicht "zu Fuß" zeigen
Bild(f) sind alle Vielfachen von (0;1;0) , also dim=1
