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Sei A := $$\begin{pmatrix} \bar { 1 }  & \bar { 4 }  \\ \bar { 3 }  & \bar { 1 }  \end{pmatrix}$$ F52x2 . Es soll ein Polynom f F5[X] \ {0} von kleinstmöglichem Grad gefunden werden, so dass f(A) = 0 gilt. Gehen Sie wie folgt vor, um ein solches Polynom zu finden:

  • Bestimmen Sie sukzessiv die Potenzen A0, A1, A2, . . .

  • Prüfen Sie, ob eine lineare Abhängigkeit zwischen diesen Potenzen besteht; eine solche lineare Abhängigkeit liefert das gewünschte Polynom.

    Also ich habe jetzt berechnet:

    A0=E, 

    A1=A

    A2= $$\begin{pmatrix} \bar { 13 }  & \bar { 8 }  \\ \bar { 9 }  & \bar { 13 }  \end{pmatrix}$$

    A3= $$\begin{pmatrix} \bar { 37 }  & \bar { 60 }  \\ \bar { 48 }  & \bar { 49 }  \end{pmatrix}$$

    Ist das so richtig? Und was müsste ich jetzt machen ?


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1 Antwort

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A2 =

13   8
9    13   stimmt so nicht ganz; denn in F5 ist das

3     3
4     3

und  A3 entsprechend

2    0
3    4

Avatar von 289 k 🚀

A2 ist falsch. A3 wird nicht benötigt.

Ahhhhh jetzt macht es mit den Potenzen klick. Hatte total vergessen, wie es mit Z/5Z war. So zu sagen immer bis 5 durchzählen, da ohne Null, stimmt's?

Wie weit muss ich das weiter machen, um die Linearität beweisen zu können, und wie kann ich das zeigen ?

Das A2 ist auch wohl

13  8
6   13

also

3    3
1    3 .

Und wenn du 3*A2 nimmst, hast du

4   4
3   4

und davon A abziehst , gibt es

3   0
0   3

Also ist das Polynom

3x2 - x - 3 bzw. in F5 geschrieben wohl eher

3x+4x  +2




jaaa, hab ich auch gemerkt :) Danke

also das hab ich jetzt verstanden, wie kann ich jetzt die Linearität beweisen ?

Also ist das Polynom... ist auch falsch. Es gibt keine eindeutige Lösung.

heißt das, die Matrizen sind dann nicht linear ?

Ach sorry falsch verstanden.

Es gibt mehrere Lösungen.

Okay hab mich langsam sortiert  :D

Danke für deine Hilfe !

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