Sei A := $$\begin{pmatrix} \bar { 1 } & \bar { 4 } \\ \bar { 3 } & \bar { 1 } \end{pmatrix}$$ ∈ F52x2 . Es soll ein Polynom f ∈ F5[X] \ {0} von kleinstmöglichem Grad gefunden werden, so dass f(A) = 0 gilt. Gehen Sie wie folgt vor, um ein solches Polynom zu finden:
Bestimmen Sie sukzessiv die Potenzen A0, A1, A2, . . .
Prüfen Sie, ob eine lineare Abhängigkeit zwischen diesen Potenzen besteht; eine solche lineare Abhängigkeit liefert das gewünschte Polynom.
Also ich habe jetzt berechnet:
A0=E,
A1=A
A2= $$\begin{pmatrix} \bar { 13 } & \bar { 8 } \\ \bar { 9 } & \bar { 13 } \end{pmatrix}$$
A3= $$\begin{pmatrix} \bar { 37 } & \bar { 60 } \\ \bar { 48 } & \bar { 49 } \end{pmatrix}$$
Ist das so richtig? Und was müsste ich jetzt machen ?
A2 = 13 89 13 stimmt so nicht ganz; denn in F5 ist das 3 34 3
und A3 entsprechend2 03 4
A2 ist falsch. A3 wird nicht benötigt.
Ahhhhh jetzt macht es mit den Potenzen klick. Hatte total vergessen, wie es mit Z/5Z war. So zu sagen immer bis 5 durchzählen, da ohne Null, stimmt's?
Wie weit muss ich das weiter machen, um die Linearität beweisen zu können, und wie kann ich das zeigen ?
Das A2 ist auch wohl13 86 13
also
3 31 3 .
Und wenn du 3*A2 nimmst, hast du
4 43 4
und davon A abziehst , gibt es 3 00 3
Also ist das Polynom 3x2 - x - 3 bzw. in F5 geschrieben wohl eher3x2 +4x +2
jaaa, hab ich auch gemerkt :) Danke
also das hab ich jetzt verstanden, wie kann ich jetzt die Linearität beweisen ?
Also ist das Polynom... ist auch falsch. Es gibt keine eindeutige Lösung.
heißt das, die Matrizen sind dann nicht linear ?
Ach sorry falsch verstanden.
Es gibt mehrere Lösungen.
Okay hab mich langsam sortiert :D
Danke für deine Hilfe !
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