Wie zeige ich, dass es genau ein ungerades Polynom vom Grad höchstens 2n − 1 gibt, das folgendes erfüllt

Question

Aufgabe:

Gegeben sind n reelle Zahlen x1, . . . , xn mit 0 < x1 < . . . < xn.
Begründen Sie, dass es genau ein ungerades Polynom vom Grad höchstens 2n − 1 gibt, das an den n Stellen x1, . . . , xn vorgegebene Werte annimmt.

Kann mir bitte jemand erklären, wie diese Aufgabe geht?

Answer 1

Ein ungerades Polynom der Ordnung \( 2n - 1 \) hat die Form $$ p(x) = \sum_{k=1}^n a_{2k-1} x^{2k-1} $$ Für dieses Polynom gilt $$ p(x_i) = y_i \text{ für } i = 1 \cdots n $$ Wenn es ein zweites Polynom \( q(x) = \sum_{k=1}^n b_{2k-1} x^{2k-1} \) gibt mit den gleichen Eigenschaften wie das Polynom \( p(x) \) dann gilt $$ r(x_i) = \sum_{k=1}^n c_{2k-1} x^{2k-1} = p(x_i) - q(x_i) = 0 \text{ für } i = 1 \cdots n $$ mit \( c_{2k-1} = a_{2k-1} - b_{2k-1} \)

D.h. das Polynom \( r(x) \) hat mindestens \( n \) Nullstellen. Da aber auch \( r(x) \) ein ungerades Polynom ist gilt $$ p(-x) = - p(x) $$ D.h. die \( -x_i \ \text{ mit } i=1 \cdots n \) sind ebenfalls Nullstellen des Polynoms \( r(x) \).

Damit haben wir \( 2n \) Nullstellen des Polynoms \( r(x) \) gefunden. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat ein Polynom vom Grad \( 2n - 1 \) aber höchstens \( 2n -1 \) Nullstellen. D.h. \( r(x) \) kann nur das Nullpolynom sein. D.h. aber, es gilt $$ c_{2k-1} = a_{2k-1} -b_{2k-1} = 0 $$ Und damit sind die Polynome \( p(x) \) und \( q(x) \) identisch.