Zeigen: Es existiert α ∈ L mit L = K(α). Ist p = 2 und char(K) 6= 2, so kann α in (a) so gewählt werden

Question

Aufgabe:

Sei K ⊆ L eine Körpererweiterung und p := [L : K] ≤ ∞ eine Primzahl. Zeigen Sie:
(a) Es existiert α ∈ L mit L = K(α).
(b) Ist p = 2 und char(K) != 2, so kann α in (a) so gewählt werden, dass α² ∈ K gilt

könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

Answer 1

Zu (a):

Sei \(\alpha \in L\backslash K\), dann ist

\(1<[K(\alpha) : K]\) und \([K(\alpha):K]\) ein Teiler von \([L:K]\).

Letzteres ist eine Primzahl \(p\), also ist \([K(\alpha):K]=p\),

folglich \(L=K(\alpha)\).

Zu (b):

Nach (a)  ist \(L=K(\beta)\) für ein gewisses \(\beta\in L\).

Wegen \([L:K]=2\) ist \(\{1,\beta,\beta^2\}\) linear abhängig,

aber \(\{1,\beta\}\) linear unabhängig, also gibt es \(r,s\in K\) mit

\(\beta^2+r\beta+s=0\). Quadratische Ergänzung liefert

\((\beta+r/2)^2=(r/2)^2-s\). Setze \(\alpha=\beta+r/2\),

dann ist \(K(\alpha)=K(\beta)=L\) und \(\alpha^2 \in K\).