Zeigen Sie: Es existiert α ∈ R, so dass A = αI, wobei I ∈ R^{2×2} die Einheitsmatrix ist.

Question

Sei A ∈ R^{2×2}
eine Matrix mit der Eigenschaft, dass für alle B ∈ R^{2×2} gilt AB = BA.
Zeigen Sie: Es existiert α ∈ R, so dass A = αI, wobei I ∈ R^{2×2} die Einheitsmatrix ist.

Hinweis: Berechnen Sie AB und BA für Matrizen B ∈ R^{2×2}, bei der genau ein
Eintrag eins ist und alle anderen Einträge null sind.

AB = BA? das kommt mir bekannt vor, aber mir fällt nichts ein was das war...

Also was verlangt ist, ist ja sowas:

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d  \end{pmatrix} \cdot \alpha \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d  \end{pmatrix}$$

Wie aber gehts jetzt weiter?

mfg

Answer 1

Folge dem Hinweis:

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0  \end{pmatrix}$$

und

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0  \end{pmatrix}$$

Da die Ergebnisse laut Aufgabe gleich sein sollen, müssen jedenfalls b und c gleich 0 sein.

Entsprechend z.B. bei Multiplikation z.B. von  $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d  \end{pmatrix} $$

in beiden Reihenfolgen.

Comments

ok A muss also eine 0 Matrix sein...

d.h. alpha muss auch 0 sein? sonnst kommt ja nie wieder die 0 matrix raus, wenn wir irgendeine matrix mit 1 irgendwo und alles andere 0 mit alpha multiplizieren?

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ok A muss also eine 0 Matrix sein...

Nein, oben folgt nur, dass b und c 0 sein müssen.

Rechne doch mal die anderen Fälle durch etwa

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & c  \end{pmatrix}$$und$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 0  \end{pmatrix}$$

Hieraus folgt dann  a=d .

Und mit den anderen Matrizen mit einer 1 und sonst Nullen

musst du mal schauen.

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ok also ich habs das mal gemacht aber das macht kein sinn, da kommen ergebnisse raus, die miteinander nix zutun haben...

aber ja es gibt jeweils bedingungen mit denen gilt ab = ba... das ist klar

was hat das jetzt mit α*I=A zutun?

mfg.

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da kommen ergebnisse raus, die miteinander nix zutun haben...

Meine ich nicht. Deine 1. Zeile zeigt:   b=0 und c=0

die 2. zeigt    :               c=0 und d=a

die dritte wieder   b=0  und  d=a

etc.  Nur dann sind ja die Ergebnisse gleich.

Also weißt du über die Matrix A:

a=d  und b=c=0 , sie sieht also so aus:

   a     0
   0     a

oder auch   A = a*I     q.e.d.

Answer 2

irgendwie versteh ich den Sinn der Frage nicht, es ist doch einfach α=1 , die Einheitsmatrix kommutiert mit allen Matrizen. Damit wäre die Existenz eines solchen α
ja schon gezeigt.