Hier kennst du den Witz
" Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt ommer noch über die komplexe Ebene. "
Polynome gelten ja als beherrschbar; und so werde ich denn den direkten Umweg über den eulersatz einschlagen .
exp ( + i x ) = cos ( x ) + i sin ( x ) | kk ( 1a )
( kk bedeutet " komplex konjugiert )
exp ( - i x ) = cos ( x ) - i sin ( x ) ( 1b )
Rein formal juristisch kannst du ( 1ab ) als LGS auffassen und nach den Unbekannten Sinus und Kosinus umstellen; siehe Bronstein
cos ( x ) = 1/2 [ exp ( + i x ) + exp ( - i x ) ] ( 2a )
sin ( x ) = ( 1 / 2 i ) [ exp ( + i x ) - exp ( - i x ) ] ( 2b )
Diese Identitäten ( 2ab ) setze ich jetzt ganz systematisch in deine Ausgangsgleichung ein.
( Schon mein Daddy war Ingenieur. Ich verhalte mich zu ihm wie der Freimaurer zum Maurer - rein geistig mein ich . Wenn er Murxern zusah, meinte er nur, das kann ich gar nicht mit ansehen. Und mit eurer Matematik geht es mir gelegentlich ebenso.
Und dann sagte der, du brauchst richtiges Werkzeug. So wie es in den Bastelbüchern steht; der freundliche Mann an der Trinkhalle gibt euch bestimmt eine Zigatrrenkiste. Und einen Handbohrer hat euer Onkel sicher auch - das wird nie was.
In der Matematik ist es aber genau so. )
exp ( 3 i x ) + exp ( - 3 i x ) = i exp ( - i x ) - i exp ( i x ) | * exp ( 3 i x ) ( 3a )
In ( 3a ) wird noch mit dem Hauptnenner multipliziert; wir substituieren noch
z := exp ( 2 i x ) ( 3b )
z ³ + i z ² - i z + 1 = 0 ( 4a )
( 4a ) kannst du knacken mit der wohl elementarsten Faktorisierungsmetode, die sich überhaupt denken lässt .
z ² ( z + i ) - i ( z + i ) = 0 ( 4b )
Jetzt die Klammer ausklammern, die in beiden Termen vorkommt:
( z + i ) ( z ² - i ) = 0 ( 4c )
z1 = ( - i ) entspricht ja ( - 90 ° C ) Jetzt müssen wir aber die Quadratwurzel ziehen wegen ( 3b ) ; und im Zeigerdiagramm entsoricht das ( - 45 ° ) Bei Wurzeln passieren mit dem Vorzeichen immer böse Dinge; machen wir zur Sicherheit die Probe.
cos ( - 135 ) = sin ( - 45 ) ( 5a ) ; ok
Lösung ( 5a ) lebt also entscheidend davon, dass 45 ° der Winkel ist, wo Sinus = Kosinus . Jetzt hast du aber immer Plus / Minus Wurzel . Die zweite Lösung wäre 180 - 45 = 90 + 45 im 2. Quadranten .
3 ( 90 + 45 ) = - 90 + 135 = 45 ( 5b )
cos ( 45 ) = sin ( 135 ) ( 5c ) ; ok
Hier wer kennt ===> Karl Valentin und Lisl Karlstadt " Die Firmung "
" Und sitzt - und passt. wo der den gar neet keeeent hat. Das ist ja das Frappanteeee. "
Und jetzt vergleichen wir die rechte Klammer von ( 4c ) mit ( 3b ) Offensichtlich müssen wir hier die 4 . Wurzel ziehen aus 90 ° , und das entspricht 22.5 °
cos ( 67.5 ) = sin ( 22.5 ) ( 6 )
Na so ein Zufall; es soll ja Leute geben, die weit eher ihrem TR vertrauen als ihren grauen Zellen . Diese Lösung musste einfach kommen, weil 22.5 genau der Winkel ist, dessen dreifacher Betrag gleich dem Komplementwinkel ist . Und jetzt kommen noch die 4. Einheitswurzeln ins Spiel, als da sind 22.5 +/- 90 so wie 22.5 - 180 . Die solltest du alle noch durchprüfen .
Deine zweite Gleichung führt auf ein Additionsteorem.
ctg ( 2 x ) = tg ( 3 x ) | * HN ( 7a )
cos ( 2 x ) cos ( 3 x ) - sin ( 3 x ) sin ( 2 x ) = ( 7b )
= cos ( 5 x ) = 0 ===> x1;2 = +/ 18 ( 7c )
