Trigonometrische Gleichung: Welche Lösungen haben die Gleichungen?

Question

Welche Lösungen haben die Gleichungen?

A) cos (2x - π/4) = -1/2

B) cos(2x + π/6) = 1/√2

C) tan(x) = √3

Aus den folgenden Lösungen ist zu wählen:

1. \( x=n \pi \)
2. \( x=\frac{n \pi}{2} \)
3. \( x=\frac{\pi}{3}+n \pi \)
4. \( x=-\frac{5 \pi}{24}+n \pi, ~ x=\frac{11 \pi}{24}+n \pi \)
5. \( x=-\frac{\pi}{4}+2 n \pi, ~ x=\frac{\pi}{4}+2 n \pi \)
6. \( x=\frac{\pi}{24}+n \pi, ~ x=-\frac{5 \pi}{24}+n \pi \)
7. \( x=\frac{\pi}{6}+\frac{n \pi}{2} \)

Comments

Die Darstellung deiner Aufgaben macht keinen großen Sinn, weil:

A) Cosinus ist auf [-1,1] beschränkt.

B) und C) Meinst du wurzel(2) und wurzel(3)?

Korrigier die bitte, das hilft den Leuten bei der Antworterstellung.

Answer 1

Hey ich beschreibs dir mal an Hand von A), der Rest geht analog, zum Tangens sag ich am Ende noch was

wenn du diese Gleichung hast

$$cos(2x-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} $$

Dann machst du erstmal eine Substitution $$ 2x - \frac{\pi}{4} = y $$, denn

mit der Gleichung

$$ cos(y) = -\frac{1}{2} $$ kannst du wieder was anfangen, da du die Cosinusfunktion kennst.

Im Intervall $$[0,2\pi]$$ nimmt der Cosinus 2 mal den Wert -1/2 an und zwar bei

$$ y_1 = \frac{\pi}{6} $$ und $$ y_2 = \frac{2}{3} \pi $$.

Ich mach hier jetzt nur mit y1 weiter:

Da Cosinus 2pi -periodisch ist gilt also

$$cos(y_1+n\cdot 2 \pi) = -\frac{1}{2} $$

Jetzt machst du deine Rücksubstitution um dein x zu berechnen

$$ 2x_1 - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}  +n\cdot 2 \pi$$ und löst nach x1 auf:

$$ x_1 = \frac{5}{24}\pi + n \pi $$.

Dasselbe machst du mit x2 und y2.

Die B) geht genauso,

Die C): Da Tangens nur eine Lösung auf dem Intervall [-pi/2, pi/2] besitzt suchst du dort erstmal nach der

ersten Lösung für y. Dann musst du noch beachten, dass Tangens die Periode pi besitzt. Also kriegst du Lösungen der Art

$$ y = y_1 + n \pi. $$

Comments

Ist die Periode des Tangens nicht \(\pi\) ?

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Ich hasse die Editbegrenzung.

Es gibt einen 2. Fehler y1 und y2 sind falsch, sorry verrechnet

Um es einfach zur machen lieber das Intervall [-pi,pi]

dann folgt aus $$ cos(y) = -\frac{1}{2} $$

2 Lösungen

$$y_1 = \frac{2}{3}\pi , \quad y_2 = -\frac{2}{3}\pi  $$

Rücksubstitution:

$$ 2x_1 - \frac{\pi}{4} =  \frac{2}{3}\pi + n2\pi, \quad  2x_2 - \frac{\pi}{4} =  -\frac{2}{3}\pi + n2\pi, $$

und somit als Lösungen für x:

$$ x_1 = \frac{11}{24}\pi + n\pi, \quad x_2 = -\frac{5}{24}\pi + n\pi $$

Sorry wegen dem Rechenfehler !

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Das heißt für B) y1 = 1/4 π und -1/4 π ?

und aufgelöst dann πn /2 ?

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Zwar hast du y1 und y2 richtig bestimmt, aber

$$ 2x_1 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + n2\pi$$

ergibt $$ x_1 = \frac{\pi}{24} +n\pi$$

und

$$ 2x_2 + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + n2\pi$$ ergibt 

$$ x_1 = -\frac{5\pi}{24} +n\pi$$