Zeigen Sie: A3 − 6A2 + 10A − 4E3 = 0, wobei E3 ∈ K3×3 die Einheitsmatrix ist.

Question

Sei A = \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \) .

Zeigen Sie: A³ − 6A² + 10A − 4E₃ = 0, wobei E₃ ∈ K^3×3 die Einheitsmatrix ist.

Comments

Alternativ wende den Satz von Cayley-Hamilton auf deine Matrix an.

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie: A 3 − 6A 2 + 10A − 4E 3 = 0, wobei E 3 ∈ K 3×3 die Einheitsmatrix ist.

Stichworte: matrix

Aufgabe:

(a) Sei \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 &-1 \\ 0 & -1 &-2 \end{pmatrix} \)

Zeigen Sie: A 3 − 6A 2 + 10A − 4E 3 = 0, wobei E 3 ∈ K 3×3 die Einheitsmatrix ist.
(b) Sei nun A ∈ K n×n beliebig. Zeigen Sie: Es existiert ein Polynom P (t) = b r t r +
· · · + b 1 t + b 0 ∈ K[t], so dass: b r A r + · · · + b 1 A + b 0 E n = 0, wobei E n ∈ K n×n die
Einheitsmatrix ist.

Answer 1

Setze die Matrix A in die Gleichung ein, bilde die jeweiligen Potenzen und schaue, was am Ende dabei herauskommt. Ist im Prinzip „nur“ stumpfes Einsetzen und Ausrechnen.

VG

Comments

Wie kann ich A³ und A² berechnen?

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Das berechnest du, indem du die Matrix drei bzw. zwei Mal nebeneinander schreibst und diese dann in zwei bzw. einem Schritt(en) „normal“ multiplizierst. Stichwort Matrixmultiplikation.