Zeigen Sie, dass es keine A ∈ K2x1, B ∈ K1x2 geben kann so dass die Einheitsmatrix heraus kommt

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass es keine A ∈ K^2x1, B ∈ K^1x2 geben kann mit

AB =   _{1   0}

         ^{0   1}

Problem/Ansatz:

Also grundsätzlich ist die Einheitsmatrix das neutrale Element also die Multiplikation von A mit der Einheitsmatrix ergibt ja wieder a. Also nimm die Einheitsmatrix eine ähnliche Rolle wie bspw die 1 in ℝ. D.h die Einheitsmatrix kann nur dann das Ergebnis zweier Matrizen sein, wenn A=B= Einheitsmatrix. Das heisst wenn A ≠ B ist kann ja die Einheitsmatrix nicht rauskommen.

Aber wie kann ich das jetzt richtig beweisen so dass es allgemeingültig aufgeschrieben ist?

Vielen Dank für sämtliche Hilfe und Ansätze!

Answer 1

Ich denke so kannst du das zeigen:
Wir nehmen an dass

\(AB=\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}\begin{pmatrix} c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac & ad \\ bc & bd \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Dann muss gelten, dass ad=0. Das ist nur möglich, wenn entweder a=0 oder d=0. Daraus würde aber folgen, dass ac=0, oder bd=0 gilt, was ein Widerspruch zur annahme wäre. Also gibt es keine Vektoren A,B für die AB=I gilt.

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Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung.

Answer 2

Hallo,

A ∈ K^2x1  →  A hat die Form   \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\)

B ∈ K^1x2 →  B hat die Form  \((c \text{ }d)\)

\(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}· (c\text{ }d)= \begin{pmatrix} a·c&a·d\\ b·c&b·d\end{pmatrix} \)   soll gleich \( \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix} \) =  Einheitsmatrix sein.

Dann müsste aber in a·d = 0  "a=0 oder d=0" gelten.

a=0  → a·c ≠ 1   , d=0  →  b·d ≠ 1

A · B kann also nicht die Einheitsmatrix sein.

Gruß Wolfgang

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Besten Dank.

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germ geschehen