V = { f : ℝ→ℝ | Polynom vom Grad ≤ n }. Zeige: B ist eine Basis von V?

Question

Sei n ∈ ℕ₀, V = { f : ℝ→ℝ | Polynom vom Grad ≤ n }.  Sei B = { f₀, f₁, ..., f_n } mit f₀(x) = 1, f₁(x) = x, ..., f_n(x) = xⁿ ∀ x ∈ ℝ

Zeige: B ist eine Basis von V?

Answer 1

Sei f ∈ V, also gibt es a₀ , a₁, ..., a_n aus IR mit  f(x) = a₀ + a₁*x +  ...+ a_n *xⁿ  für alle x aus IR.

Dann gilt auch für alle x aus IR     f(x) =  a₀ *f₀(x) + a₁*f₁(x) +  ...+ a_n *f_n(x).

Also ist B ein Erzeugendensystem für V.

Außerdem sind die Elemente von B lin. unabh. denn wenn 

a₀ *f₀ + a₁*f₁ +  ...+ a_n *f_n = 0-Polynom also

a₀ *f₀(x) + a₁*f₁(x) +  ...+ a_n *f_n(x) = 0     für alle x aus IR gilt, dann

sind alle  a_i = 0 .