Wie zeige ich, dass es genau ein ungerades Polynom vom Grad höchstens 2n − 1 gibt, das folgendes erfüllt

Question

Aufgabe:

Gegeben sind n reelle Zahlen x1, . . . , xn mit 0 < x1 < . . . < xn.
Begründen Sie, dass es genau ein ungerades Polynom vom Grad höchstens 2n − 1 gibt, das an den n Stellen x1, . . . , xn vorgegebene Werte annimmt.

Kann mir bitte jemand erklären, wie diese Aufgabe geht?

Answer 1

Ein ungerades Polynom der Ordnung $2n - 1$ hat die Form $$p(x) = \sum_{k=1}^n a_{2k-1} x^{2k-1}$$ Für dieses Polynom gilt $$p(x_i) = y_i \text{ für } i = 1 \cdots n$$ Wenn es ein zweites Polynom $q(x) = \sum_{k=1}^n b_{2k-1} x^{2k-1}$ gibt mit den gleichen Eigenschaften wie das Polynom $p(x)$ dann gilt $$r(x_i) = \sum_{k=1}^n c_{2k-1} x^{2k-1} = p(x_i) - q(x_i) = 0 \text{ für } i = 1 \cdots n$$ mit $c_{2k-1} = a_{2k-1} - b_{2k-1}$

D.h. das Polynom $r(x)$ hat mindestens $n$ Nullstellen. Da aber auch $r(x)$ ein ungerades Polynom ist gilt $$p(-x) = - p(x)$$ D.h. die $-x_i \ \text{ mit } i=1 \cdots n$ sind ebenfalls Nullstellen des Polynoms $r(x)$.

Damit haben wir $2n$ Nullstellen des Polynoms $r(x)$ gefunden. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat ein Polynom vom Grad $2n - 1$ aber höchstens $2n -1$ Nullstellen. D.h. $r(x)$ kann nur das Nullpolynom sein. D.h. aber, es gilt $$c_{2k-1} = a_{2k-1} -b_{2k-1} = 0$$ Und damit sind die Polynome $p(x)$ und $q(x)$ identisch.