Polynom vom kleinstmöglichen Grad, sodass f(A)=0

Question

Sei A := $$\begin{pmatrix} \bar { 1 }  & \bar { 4 }  \\ \bar { 3 }  & \bar { 1 }  \end{pmatrix}$$ ∈ F5^2x2 . Es soll ein Polynom f ∈ F5[X] \ {0} von kleinstmöglichem Grad gefunden werden, so dass f(A) = 0 gilt. Gehen Sie wie folgt vor, um ein solches Polynom zu finden:

• Bestimmen Sie sukzessiv die Potenzen A0, A1, A2, . . .

• Prüfen Sie, ob eine lineare Abhängigkeit zwischen diesen Potenzen besteht; eine solche lineare Abhängigkeit liefert das gewünschte Polynom.

  Also ich habe jetzt berechnet:

  A⁰=E, 

  A¹=A

  A²= $$\begin{pmatrix} \bar { 13 }  & \bar { 8 }  \\ \bar { 9 }  & \bar { 13 }  \end{pmatrix}$$

  A³= $$\begin{pmatrix} \bar { 37 }  & \bar { 60 }  \\ \bar { 48 }  & \bar { 49 }  \end{pmatrix}$$

  Ist das so richtig? Und was müsste ich jetzt machen ?

  
  

Answer 1

A² =

13   8
9    13   stimmt so nicht ganz; denn in F5 ist das

3     3
4     3

und  A3 entsprechend

2    0
3    4

Comments

A² ist falsch. A³ wird nicht benötigt.

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Ahhhhh jetzt macht es mit den Potenzen klick. Hatte total vergessen, wie es mit Z/5Z war. So zu sagen immer bis 5 durchzählen, da ohne Null, stimmt's?

Wie weit muss ich das weiter machen, um die Linearität beweisen zu können, und wie kann ich das zeigen ?

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Das A2 ist auch wohl

13  8
6   13

also

3    3
1    3 .

Und wenn du 3*A² nimmst, hast du

4   4
3   4

und davon A abziehst , gibt es

3   0
0   3

Also ist das Polynom

3x² - x - 3 bzw. in F₅ geschrieben wohl eher

3x²  +4x  +2

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jaaa, hab ich auch gemerkt :) Danke

also das hab ich jetzt verstanden, wie kann ich jetzt die Linearität beweisen ?

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Also ist das Polynom... ist auch falsch. Es gibt keine eindeutige Lösung.

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heißt das, die Matrizen sind dann nicht linear ?

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Ach sorry falsch verstanden.

Es gibt mehrere Lösungen.

Okay hab mich langsam sortiert  :D

Danke für deine Hilfe !