Dimension Bild und Kern einer Linearen Abbildung ermitteln

Question

ich bräuchte mal eure Hilfe zu einer Aufgabe also Tipps und Lösungen wären toll.

Aufgabe:                                    x₁            x₁ + 2x₂ -x₃ 

Wir definieren φ : ℝ³ → ℝ⁴ , (     x₂   ) → (  x₁ + x₃            )   =: v

x₃              x₂ -x₃

2x₁ + x₂ + x₃

ermittle dim φ(ℝ³  ) sowie eine Basis von φ(ℝ³ )und Kern(φ).

danke im voraus

Answer 1

x₁ = x₁ + 2x₂ -x3    also ist der erste vektor v₁ =(1,2,-3)

x₂ =x₁ + x₃      v₂ =(1,0,1) und dementsprechen wäre v₃ =(0,1,-1)

Nur weiß ich nicht, was du mit folgendem Term zum Ausdruck bringen möchtest:2x₁ + x₂ + x₃

um die Dimension von der Matrix zu bestimmen musst du ihren rang bestimmen.

1,2,-3
1,0,1
0,1,-1ist deine Matrix.Nun bringst du diese Matrix auf die Dreiecksform(falls möglich).Der Rang dieser Matrix ist gleich der Dimension vom Bild.
Wenn du die Matri auf die Dreiecksform bringen kannst, bedeutet es, dass diese Vektoren linear unabhängig voneinander sind und somit auch eine Basis des Bildes bilden.
Für den Kern transponierst du die Matrix und guckst nach ob die Vektoren linear unabhängig voneinander sind.
Falls sie es sicnd kannst du auch diese Matri auf die Dreiecksform bringen.
Falls sie es aber nicht sind kannst du mit Der Basisergänzung eine Basis zum Kern finden.

Diese Informationen müssten dir vorerst weiter helfen :D
ich wünsche dir viel Spaß beim rechnen.

Answer 2

ich habe keine Ahnung.