explizite Darstellung einer geometrischen Folge aufgrund zweier Folgenglieder

Question

Von einer geometrischen Folge sind die Glieder$$a_4 =4\sqrt {2} \quad  a_7 = 16$$bekannt.

Nun soll die explizite Darstellung der Folge eruiert werden. Ausserdem soll rechnerisch die Anzahl nötiger Glieder berechnet werden, die benötigt wird, um beim Aufsummieren der Glieder 1000 zu überschreiten. 

Wie müsste man da bitte vorgehen?

Answer 1

Ansatz:

Geometrische Folge: \(a_n = bq^n \)

Dann hast du

$$ bq^4 = 4\sqrt2 $$

$$bq^7 = 16 $$

Das müsste reichen um \(b\) und \(q\) zu ermitteln.

Hast du dies geschafft ist die nächste Frage: Was ist das kleinste \(m\), so dass

$$ S(m) = \sum_{n=0}^m bq^n > 1000 $$

Ist \( q \neq 1 \) so kannst du die Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe benutzen:

$$S(m) = b\frac{q^{m+1}-1}{q-1} $$

Versuche zuerst ein \(m\) zu finden, so dass \( S(m) = 1000 \) ist.

Wenn \(m\) eine natürliche Zahl ist, dann bist du fertig, wenn nicht dann rundest du auf.

Gruß

Comments

besten Dank für die Antwort!

Ich bin nun auf die explizite Form gekommen. Sie lautet:$$a_n = 2\cdot (\sqrt {2})^{n-1}$$

Wegen der Partialsummenformel: Im Prinzip könnte ich ja eine Ungleichung grösser 1000 lösen nach m, oder? Dafür bräuchte ich dann vermutlich aber den Logarithmus. Oder löst man dies am besten durch "Versuchen"?

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Ne Logarithmus ist schon angebracht. Noch als Tipp damit du mit der Notation der Formel konform bleibst:

\(a_n = \sqrt{2} \cdot (\sqrt2)^n \)

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Wir haben in unserem Skript anscheinend eine andere Definition von expliziter Form. :/

Das kommt vermutlich auf das gewählte Anfangsglied an. Ich geh' mal von meiner Teillösung aus, die auch in der ML steht: $$a_n = 2 \cdot (\sqrt {2})^{n-1}$$Zugrundeliegende Form:$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$Jetzt zur Teilaufgabe b:$$1000< \frac {a_1 \cdot q^n-1}{q-1}$$$$=1000<\frac {2\cdot (\sqrt {2)^n}-1}{\sqrt {2}-1}$$Leider komme ich ab da nicht weiter, wie würdest Du bitte weiter nach n auflösen?

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Hmm das ist doch beides dasselbe, dachte du erkennst das

$$ 2(\sqrt{2})^{n-1} = (\sqrt{2})^2(\sqrt{2})^{n-1} = \sqrt{2} (\sqrt{2})^n $$

Wie auch immer wollte ich dir nur damit Flüchtigkeitsfehler ersparen. Die Formel in eurem Skript ist ja deiner expliziten Form angepasst.

Weiter auflösen: Du bringst alles auf eine Seite bis du stehen hast

$$...<(\sqrt{2})^n $$

Dann wendest du Logarithmus auf beiden Seiten an und kannst weiter nach n auflösen

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habe es hinbekommen. Herzlichen Dank!

Ja, jetzt sehe ich, was Du meinst mit der Umformung. Hab' etwas gebraucht.

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Kein Problem, schön, dass es geklappt hat :)