Verständnisfrage zu Kern und Bild einer Linearen Abbildung

Question

Nur eine kurze Verständnis Frage:

Setzt sich eine Lineare Abbildung nur aus dem Kern und dem Bild zusammen? Also ich meine damit, dass alles damit gezeigt werden kann und somit alles was nicht im Bild liegt der Kern sein muss? Bzw. alles was nicht im Kern liegt , liegt im Bild ?
Vielen Dank bereits im Voraus.

Answer 1

In der linearen Abbildung φ: V→W ist Kern φ ⊆ V und Bild φ ⊆ W.

Comments

Und wie würden Vektoren aussehen, die nicht im Bild z.b. liegen?

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Ich denke, dass die Vektoren die nicht im Bild liegen, Vektoren aus V sind. Ist die Annahme richtig?

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f: ℚ→ℝ, x↦0 ist eine linerare Abbildung. Kern f = ℚ, Bild f = {0}, √2 liegt weder im Kern von f, noch im Bild von f.

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Wenn wir die komplexe Zahlen betrachten also x-> a+ib , kann man denn sagen, dass alle möglichen Vektoren abgebildet werden kann( also dass es keine Vektoren außerhalb des Bildes gibt) , da die komplexe Zahl den gesamten Raum einnehmen kann ?

Vielen dank für deine Hilfe .

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> Wenn wir die komplexe Zahlen betrachten ...

In welcher Hinsicht?

f: ℚ→ℂ, x↦0 ist eine linerare Abbildung. Kern f = ℚ, Bild f = {0}, √2 liegt weder im Kern von f, noch im Bild von f.

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√2 liegt weder im Kern von f, noch im Bild von f.
Das trifft übrigens auch auf meinen Dackel Waldemar zu.

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Gut, dass du mich daran erinnerst; ich habe da eine Sache vergessen:

√2 ist Element der Zielmenge von f: ℚ→ℝ und der Zielmenge von f: ℚ→ℂ. Dein Dackel ist es nicht, deshalb ist er (so leid es mir tut) irrelevant.