Man berechne die Determinante von M durch Entwicklung nach der dritten Spalte. Matrix M inventierbar?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die folgende Matrix

\( M=\left(\begin{array}{rrrr}a & 1 & 0 & -2 \\ a & 0 & 1 & 5 \\ -1 & a & 0 & 4 \\ -2 & 4 & 0 & 6\end{array}\right) \)

(a) Man berechne die Determinante von M

a1) durch Entwicklung nach der dritten Spalte.

a2) indem man sie durch Zeilenumformung auf Dreicksgestalt bringt.

(b) Unter welcher Bedingung ist die Matrix M inventierbar?

Answer 1

Zu a1 :
https://www.mathelounge.de/529158/artikel-003-kurzzusammenfassung-lineare-algebra-i-teil-2

Da ist der Entwicklungssatz sehr gut erklärt finde ich.

Habe die Anwendung des Satze auch mal erklärt in einer Frage, aber das würde jetzt etwas dauern, die Antwort rausszusuchen.

Zu a2: https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Gau.C3.9Fsches_Eliminationsverfahren_zur_Determinantenberechnung
Die Determinante ändert sich ,wenn du umformst , dort kannst du die entsprechenden Änderungen sehen.

Schreib dir einfach auf,was du umformst und wie sich deine Determinante dabei verändert.

Hast du Dreiecksgestalt erreicht,kannst du die Diagonalelemente multilpizieren und du erhältst die Determinante der Dreiecksmatrix. Jetzt nurnoch die Veränderungen,die entstanden sind beim Umformen rückgängig machen und du hast die Determinante der ursprünglichen Matrix.

Zu b: Eine Matrix ist invertierbar,wenn sie aus linear unabhängigen Spalten- und Zeilenvektoren besteht (jeweils eins von beidem schließt auf das andere ). Das ist auch äquivalent dazu,dass die Determinante ungleich 0 ist.

Falls du noch Fragen hast, nur zu :)