Permutation oder Kombination?

Question

In einem Park gibt es ein Blumenbeet mit insgesamt 50 Blumen. Eine Biene fliegt nun 8 Blumen aus dem Beet an, um ihren Nektargehalt zu überprüfen. Wieviele Möglichkeiten gibt es hierfür? (Es soll hierbei nicht nach der Reihenfolge unterschieden werden)

Ist es jetzt eine Permuation (d.h. 50! / 42! Möglichkeiten) oder eine Kombination (d.h. der Binomialkoeffizient 50 über 8). Ich brauche Hilfe, da ich es nicht unterscheiden kann. Danke im voraus!

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Eine schöne Übersicht der Formeln und Begrifflichkeiten findest du unter anderem bei Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlende_Kombinatorik

Wichtig ist auch, dass bei Permutationen k = n ist.

Bei Variationen und Kombinationen ohne Wiederholung gilt k < n.

Bei Variationen und Kombinationen mit Wiederholung kann auch k > n gelten.

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Bei Permutationen kann auch k < n gelten, die sogenannten (k,n)-Permutationen gegeben durch die Menge aller k-Tupel (x1,…,xk) mit paarweise verschiedenen Komponenten. Dessen Mächtigkeit ist dann gerade die Anzahl der möglichen Permutationen n! / (n-k)!.

Die (k,n)- Kombinationen ohne Wiederholung sind darauf nicht auf Reihenfolge festgelegt und haben die Mächtigkeit n über k, also dem Binomialkoeffizienten.

Warum ist das also in dem Beispiel eine Kombination (ohne Wiederholung) und keine Permutation, d.h. warum ist die Mächtigkeit der Binomialkoeffizient und nicht n! / (n-k)! ?

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In einem Park gibt es ein Blumenbeet mit insgesamt 50 Blumen. Eine Biene fliegt nun 8 Blumen aus dem Beet an, um ihren Nektargehalt zu überprüfen. Wie viele Möglichkeiten gibt es hierfür? (Es soll hierbei nicht nach der Reihenfolge unterschieden werden)

Ich empfehle immer in Pfaden zu denken und nicht in Formeln.

Schreibe doch mal ein mögliches 8er-Tupel auf

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)

Um ein 8er Tupel aufzuschreiben haben wir für das erste Element 50 Möglichkeiten, für das zweite 49, für das dritte 48 und für das achte 50 - 8 + 1 = 43 Möglichkeiten. Die Möglichkeiten werden entlang des Pfades multipliziert.

50 * 49 * 48 * 47 * 36 * 45 * 44 * 43 = 50!/(50 - 8)! = 50!/42!

Hier spielt jetzt aber die Reihenfolge eine Rolle. Die Reihenfolge soll aber explizit nicht betrachtet werden. Also müssen wir noch durch die Anzahl Reihenfolgen von 8 Elementen teilen.

50!/(8! * 42!) ≈ 536.9 Millionen Möglichkeiten.

Nochmals zu den Begrifflichkeiten in Wikipedia:

Als Permutation wird in Wikipedia die Anzahl der Anordnungen von n Elementen betrachtet, welche mit n! berechnet wird. Sollten unter den Elementen einige nicht unterscheidbar sein, gilt noch eine modifizierte Formel.

Eine Variation ist eine Auswahl von k Elementen aus einer Menge von n Elementen in einer bestimmten Reihenfolge. Was du oben als (n, k)-Permutation bezeichnest ist also in Wikipedia eine Variation.

Eine Kombination ist eine Auswahl von k Elementen aus einer Menge von n Elementen in beliebiger Reihenfolge.

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Dankeschön für die ausführliche Antwort

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Als Permutation wird in Wikipedia die Anzahl der Anordnungen von n Elementen betrachtet, welche mit n! berechnet wird. Sollten unter den Elementen einige nicht unterscheidbar sein, gilt noch eine modifizierte Formel.

Irritierenderweise wird im englischen Sprachraum der Begriff Permutation für das verwendet, was wir im deutschen als Variation bezeichnen.

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Das könnte auftreten, wenn

Bei Permutationen kann auch k < n gelten, die sogenannten (k,n)-Permutationen gegeben durch die Menge aller k-Tupel (x1,…,xk) mit paarweise verschiedenen Komponenten. Dessen Mächtigkeit ist dann gerade die Anzahl der möglichen Permutationen n! / (n-k)!.

Die Übersetzung einer KI vom englischen ins deutsche war oder wenn tatsächlich auch jemand das so im deutschsprachigen Raum benutzt.

Answer 1

Es kann gar keine Permutation sein, da von 50 Blumen ja nur 8 angeflogen werden. Bei einer Permutation werden immer alle Elemente betrachtet.

Da du hier nur eine Teilmenge aller Blumen betrachtest, kommen also nur noch Variation und Kombination in Frage. Die Variation beachtet die Reihenfolge, die Kombination nicht. Welcher Fall hier nun also vorliegt, kannst du direkt der Aufgabe entnehmen.

Comments

Ist die Lösung also (50 8) Möglichkeiten?

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Genau, es ist eine Kombination ohne Wiederholung, wenn man davon ausgeht, dass die Biene keine Blume doppelt anfliegt.

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Dankeschön das ist nett

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Eine Frage noch:

Bei Permutationen kann auch k < n gelten, die sogenannten (k,n)-Permutationen gegeben durch die Menge aller k-Tupel (x1,…,xk) mit paarweise verschiedenen Komponenten. Dessen Mächtigkeit ist dann gerade die Anzahl der möglichen Permutationen n! / (n-k)!.

Die (k,n)- Kombinationen ohne Wiederholung sind darauf nicht auf Reihenfolge festgelegt und haben die Mächtigkeit n über k, also dem Binomialkoeffizienten.

Warum ist das also in dem Beispiel eine Kombination (ohne Wiederholung) und keine Permutation, d.h. warum ist die Mächtigkeit der Binomialkoeffizient und nicht n! / (n-k)! ?

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Bei Permutationen kann auch k < n gelten, die sogenannten (k,n)-Permutationen gegeben durch die Menge aller k-Tupel (x1,…,xk) mit paarweise verschiedenen Komponenten. Dessen Mächtigkeit ist dann gerade die Anzahl der möglichen Permutationen n! / (n-k)!.

Das würde ich so aber nicht als Permutation bezeichnen. Eine Permutation ist wirklich eine Vertauschung aller auftretenden Elemente. Es handelt sich hierbei um eine Variation. Dein Denkfehler liegt darin, dass hier die Reihenfolge beachtet werden muss, denn für Tupel gilt nicht \((a,b)=(b,a)\) und deshalb passt das nicht zur Aufgabe.

Das zusätzliche \(k!\) im Nenner für den Binomialkoeffizienten kommt dann, indem man durch all diese \(k!\) möglichen Reihenfolgen dividiert. Das ergibt dann genau die gesuchte Kombination.

Warum ist das also in dem Beispiel eine Kombination (ohne Wiederholung) und keine Permutation, d.h. warum ist die Mächtigkeit der Binomialkoeffizient und nicht n! / (n-k)! ?

Es steht in der Aufgabe,

(Es soll hierbei nicht nach der Reihenfolge unterschieden werden)

und damit spielt die Reihenfolge eben keine Rolle, das heißt die Kombination \(\{a,b\}\) ist identisch mit \(\{b,a\}\).