Determinante berechnen. Laplace-Entwicklung nach der letzten Spalte

Question

Berechnen Sie die Determinanten von \(A \in \Reals^{3 \times 3}\), \(B \in \Reals^{5 \times 5}\), \(C \in \Reals^{5 \times 5}\) gegeben durch $$ \def\arraystretch{1.0} \begin{aligned} & \text{\(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 1^1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2^2 & 1^1 & 0 & 0 & 0 \\ 3^3 & 2^2 & 1^1 & 0 & 0 \\ 4^4 & 3^3 & 2^2 & 1^1 & 0 \\ 5^5 & 4^4 & 3^3 & 2^2 & 1^1 \end{pmatrix}\),} \\ & \text{\(C = \begin{pmatrix} \pi^{- 2} & 2 & 0 & \pi^{\sqrt{3}} & \sqrt{\pi} \\ 1 & - \pi^2 & 1 + 3 e & \pi^{- 3} & 0 \\ 0 & 0 & 2^{\pi} & 2^{e} & 2 \\ 0 & 0 & e^{- \frac{\pi}{3}} & e^{- 1} & 0 \\ 0 & 0 & - e & 0 & 0 \end{pmatrix}\).} \end{aligned}$$

Es seien ein Körper \(K\) und ein normiertes \(f \in K[X] \setminus \{0\} \) gegeben. Zeigen Sie, dass \characteristicpolynomial_{\CompanionMatrix(f)} = f ist.

Hinweis: Laplace-Entwicklung nach der letzten Spalte.

Problem:

Wie kann ich die Determinante von B und C berechnen?

Hinweis: Aufgabenteil b könnt ihr beantworten, wenn ihr das auch könnt. Ansonsten reicht es, wenn ihr mir bei den Determinanten von B und C hilft.

Answer 1

det(C) = 6

entwickle mal erst nach der 5. Zeile, gibt

det(C) = -e *    4x4-Det   Die 4x4 Det entwickle dann nach ihrer 4. Zeile,

da sind auch wieder nur 0en bis auf das e ^-1    gibt also dann:

det(C) = -e * e ^-1    3x3-Det  =  - 3x3-Det 

Die 3x3 Det hat in der letzten Zeile nur die 2, also

det(C) = - 2  * 2x2-Det   und die ist

pi -2    2

1       -pi^2   also hat die 2x2 den Wert    -1 - 2  = -3

also insgesamt

det(C) = - 2  * -3   = 6 

B hat oberhalb der Diag. nur 0 en, also ist det=Produkt der Diagonalelemente = 1

Comments

Warum fällt -e * (-e^{-1}) weg? Müsste man nicht folgendes rauskriegen? :

-e *(-e^-1)*2*det( ( (pi^{-2} , 2)  (-1 , -pi^2 ) ) )

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e -1  bedeutet doch 1/e  also kannst du das ausrechnen  -e * (-e^-1) = 1

Den Rest auch asurechnen.