Zufallsvektor und dessen Verteilung

Question

Leider weiß ich gar nicht weiter:

Gegeben ist ein Zufallsvektor (X, Y), der folgende Verteilung aufweist ( a,b ∈ [0,1] ):

X/Y	-1	0	1
1	a	0	0,25
2	b	0,25	0,25

a) Wie ist die Beziehung zwischen a und b?
b) Wie ist die Verteilung von X und Y?

Ich finde nicht mal einen Ansatz. Ist die Beziehung von a und b folgende?

a = b * (0,5 , 1) ?

Answer 1

wie kommst du denn auf den Ansatz. a ist doch kein 2-dimensionaler Vektor....

Aus der Tabelle kannst du ja direkt die Beziehung

$$ a+b = 0,25 $$

herleiten, da die Summe aller Einträge 1 ergeben muss. Damit kannst du auch die Verteilungen für die einzelnen Variablen (natürlich in Abhängigkeit von a und b) angeben.

Gruß

Comments

Dankeschön für deine Hilfe!

Und wie wäre dann die Verteilung von X in Abhängigkeit von a?

Ist es X(0,25) = 1 ?

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Was willst du mir mit X(0,25) = 1 sagen?

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Dass a maximal 0,25 annehmen kann und dies bei X = 1. Ich Versteh allerdings nicht ganz, wie ich vorgehen muss. X kann 1 und 2 annehmen. Y kann -1, 0 und 1 annehmen. a+b = 0,25. Also ist doch X nur auf 1 und 2 verteilt? Wobei dort ja jeweils drei Werte in Abhängigkeit von Y angegeben sind... :/

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Die Verteilung von X bzw. die Verteilung von Y entnimmst du einfach den Randverteilungen (was sie ja im Grunde sind), sprich den Zeilen- und Spaltensummen.

Z. Bsp. ist die Wahrscheinlichkeit P(X=1), die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 1 annimmt egal welchen Wert Y annimt.

Also P(X=1) = P(X=1, Y=-1) + P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) = a + 0,25

(Übrigens das wäre die Bedeutung der 1.Zeilensumme deiner Tabelle).

usw.

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Okay, das scheint mir recht einfach zu sein und es ist ja dann wirklich nur ein Ablesen.

Doch versteh ich glaube ich immer noch nicht so ganz, warum a+b = 0,25 ist? Wie kann man das Ablesen? Muss die Summe aller Spalten und Zeilen auch 1 ergeben?

Wie wäre denn dann die Verteilung von XY? Ist es das Produkt aus den einzelnen Verteilungen von X und Y? Also z.B. P(XY=1) = P(X=1) + P(Y=1) = a + 0,25 + 0,25 + 0,25 = a + 0,75 ? Demzufolge wäre a ja auch wieder maximal 0,25.

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Naja die Summe aller Spalten muss 1 ergeben genauso wie die Summe aller Zeilen.

Zurück zu meiner Original-Antwort:

Die Summe aller Einträge muss 1 ergeben, sonst würde ja ein Fall fehlen der eintreten kann.

Das heißt

a+b+0,75 = 1

und somit a+b = 0,25

Was meinst du mit die Verteilung von XY, meinst du das Produkt von X und Y?

Dann ist P(XY=1) = P(X=1,Y=1) = 0,25

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Ich denke, dass es sich dabei um das Produkt handelt. Leider ist es nicht näher definiert bei meiner Aufgabe.

Das hieße dann also, dass P(XY=-1) nicht definiert ist? Bzw. P(Y=-1, X=-1) = P(Y=-1) ?

DANKE für deine Ausdauer! :)

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Mach dir bitte eine Multiplikationstabelle wenn dir nicht klar ist in welchem Fall

XY = -1

ist. Dann hast du auch in einem Zug alle anderen Werte die das Produkt annehmen kann.

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Verstehe. Also kann XY folgende Werte annehmen: -2, -1, 0, 1, 2? Und die Verteilung wäre dann ganz einfach die Addition der jeweiligen Spalte und Zeile, richtig?


z.B. P(XY=-2) = P(Y=-1) + P(X=2) = a + b + b + 0,5 = 0,25 + b + 0,5 = b + 0,75 ?

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Nein die Wahrscheinlichkeiten summiert sich aus den Fällen in denen das Produkt die Werte annimmt.

XY = -2 geht nur wenn X= 2 und Y=-1

Also ist P(XY = -2) = P(X = 2, Y=-1) = b

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Also doch die andere Idee. Alles klar, damit ist mir sehr geholfen. Danke nochmals!!!!