Stetiger Zufallsvektor: Wahrscheinlichkeit für P(X 2,8, Y≤ 2,9)?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie den stetigen Zufallsvektor (X,Y), der in [2,4] x [2,4] gleichverteilt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

P(X > 2,8, Y≤ 2,9)?

Das Ergebnis sollte 0,27 sein, jedoch weiß ich nicht, wie diese Aufgabe zu beantworten ist.

Vielen Dank im Voraus!

MatheJoe

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Answer 1

Das betrachtet man am besten graphisch. Die Grundmenge [2,4] x [2,4]  in der x-y-Ebene ist ein quadratisches Gebiet mit der Seitenlänge 2 und dem Flächeninhalt

        G = 2² = 4 .

Auf dieses Quadrat prasseln nun die singulären Zufallsereignisse wie Regentropfen in homogener Zufallsverteilung.

Dem Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit gesucht ist, entspricht in dieser Graphik ein Rechteck, welches einen Teil des Grundmengen-Quadrats ausfüllt. Es hat den Flächeninhalt

         A = (4 - 2.8) · (2.9 - 2) = 1.2 · 0.9 = 1.08

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich nun (wegen der Homogenität der Verteilung) einfach als Flächeninhalts-Quotient:

         P =  A / G = 1.08 / 4 = 0.27