Ich mal (a)
$$ |z| \overline{z} = i z $$ ergibt $$ | \ |z| \ \overline{z} \ | = |z|^2 = |z| $$ also \( |z| = 1 \)
Mit $$ z = r e^{i \varphi} $$ ergibt sich \( r = 1 \) und die Gleichung \( e^{-i\varphi} = i e^{i\varphi} \) oder
$$ 1 = i e^{2i\varphi} $$ also \( \cos(2\varphi) = 0 \) und \( \sin(2\varphi) = -1 \)
Das ergibt \( \varphi = \frac{3}{4} \pi +k \pi\) mit \( k \in \mathbb{Z} \) also $$ z = (-1)^k \frac{ \sqrt{2} }{2} (-1+i) $$
D.h. es gibt nur zwei Lösungen
$$ z_1 = \frac{ \sqrt{2} }{2} (-1+i) $$ und $$ z_2 = \frac{ \sqrt{2} }{2} (1-i) = \overline{z_1} $$
$$ |z-1| = |z+1| $$ folgt $$ (z-1)\overline{(z-1)} = (z+1)\overline{(z+1)} $$ also
$$ z+\overline{z} = 0 $$ uind deshalb $$ \operatorname{Re}(z) = 0 $$ D.h, alle rein imaginären Zahlen sind die Lösung.
