Bestimmen Sie in jedem Fall die Dimension des aufgespannten Raumes und geben Sie eine Basis an

Question

Prüfen Sie, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind. Bestimmen Sie in jedem Fall die Dimension des aufgespannten Raumes und geben Sie eine Basis an.

(i)  \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \)  , \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) ∈ (F₂)³.
(ii)  \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \)  , \( \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 3\\4\\5 \end{pmatrix} \) ∈ ℝ³.

(iii) \( \begin{pmatrix} 5\\0\\5\\-4 \end{pmatrix} \)  , \( \begin{pmatrix} 0\\5\\-5\\-3 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 5\\-5\\10\\-1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} -4\\-3\\-1\\5 \end{pmatrix} \) ∈ ℝ3.

Answer 1

(i)  det ist 0, also sind die 3 lin. abh.

Die ersten beiden aber nicht, also dim = 2

(ii) wie bei (i)

(iii) Das sieht mir eher nach R^4 aus.

Bringe die Matrix auf Stufenform und du siehst:

rang=2 , also bilden je 2 lin. unabhängige davon eine

Basis des aufgespannten Raumes , etwa die ersten beiden.

Answer 2

Aloha :)

Das Rezept:

1) Trage alle Basisvektoren als Spaltenvektoren in eine Matrix ein.

2) Bringe diese Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckform

3) Alle von Null verschiedenen Spalten enthalten nun einen Basisvektor

4) Die Anzahl der Basisvektoren ist gleich der Dimension des aufgespannten Raums.

$$\left(\begin{array}{r}& -S_1 &\\\hline1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}& & +S_2\\\hline1 & 0 & 0\\1 & -1 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}\vec b_1&\vec b_2 & \vec b_3\\\hline1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0\\0 & 1 & 2\end{array}\right)$$Du könntest die Spaltenvektoren noch weiter vereinfachen, um eine "schönere" Basis anzugeben. Aber mit der (i) sind wir hier fertig. Die Vektoren sind alle linear unabhängig, wir haben 3 Basisvektoren und damit 3 Dimension.

$$\left(\begin{array}{r}& -2S_1 & -3S_1\\\hline1 & 2 & 3\\2 & 3 & 4\\3 & 4 & 5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}&  & -2S_2\\\hline1 & 0 & 0\\2 & -1 & -2\\3 & -2 & -4\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}\vec b_1&\vec b_2  & \\\hline1 & 0 & 0\\2 & -1 & 0\\3 & -2 & 0\end{array}\right)$$Wir konnten einen linear abhängigen Vektor eleminieren. Es bleiben 2 Basisvektoren und die Dimension 2 des aufgepannten Raums.

$$\left(\begin{array}{r}+S_4& & -S_1 & \\\hline5 & 0 & 5 & -4\\0 & 5 & -5 & -3\\5 & -5 & 10 & -1\\-4 & -3 & -1 & 5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}& & +S_2 & +4S_1\\\hline1 & 0 & 0 & -4\\-3 & 5 & -5 & -3\\4 & -5 & 5 & -1\\1 & -3 & 3 & 5\end{array}\right)\to$$$$\left(\begin{array}{r}& & & +3S_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\-3 & 5 & 0 & -15\\4 & -5 & 0 & 15\\1 & -3 & 0 & 9\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}\vec b_1&\vec b_2 & & \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\-3 & 5 & 0 & 0\\4 & -5 & 0 & 0\\1 & -3 & 0 & 0\end{array}\right)$$Wir konnten 2 linear abhängige Vektoren eleminieren. Es bleiben 2 Basisvektoren und die Dimension 2 der aufgespannten Raums.