Basis, Erzeugendensystem. Dimension von Vektorräumen

Question

ich muss zwei Aufagben begründen, doch nur leider weiß ich bei solchen Aufgaben immer nicht wie ich anfangen soll, vielleicht hat ja jemand einen Tip für mich und kann mir weiterhelfen.

a) Ist B= {b1; ...; bn} eine Basis von U= {u1; ... ;un} eine linear unabhängige Teilmenge von V, die ebenso viele Elemente enthält wie B, so ist U ebenfalls eine Basis von V.

b) Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum und E ein ES von V, das aus n Vektoren besteht, so ist E eine Basis von V.

 

Vielen Dank

Anmerkung: ES heisst Erzeugendensystem

Comments

Schau mal, ob dir die Diskussion bei https://www.mathelounge.de/8242/aquivalenz-aussagen-definition-durch-ringschluss-beweisen weiterhilft.

Answer 1

Die Begründungen lassen sich bestimmt abkürzen, je nach dem wie viel du schon über Vektorräume und Basen gelernt hast.

b) Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum und E ein ES von V, das aus n Vektoren besteht, so ist E eine Basis von V.

Begründung:

Ein n-dimensionaler Vektorraum besitzt eine Basis (b1,b2,…bn) aus n linear unabhängigen Vektoren. Alle Elemente des Vektorraums lassen sich als Linearkombination von b1, b2,… bn schreiben.

Nun ist zu begründen, dass sich die Elemente des Vektorraums auch als Linearkomb. von Elementen aus E (e1,e2,…en) schreiben lassen. 
Da E ein ES ist, ist das der Fall. Zudem ist die Darstellung eindeutig, da die Elemente von E linear unabhängig sind.

a) Ist B= {b1; ...; bn} eine Basis von U= {u1; ... ;un} eine linear unabhängige Teilmenge von V, die ebenso viele Elemente enthält wie B, so ist U ebenfalls eine Basis von V.

Begründung: 

Da {b1,…bn} eine Basis ist, können alle Elemente von U eindeutig als Linkomb. von Elementen von B dargestellt werden. u_i = k₁b₁ + k₂b₂ + … + k_nb_n.
Jetzt wäre noch zu begründen, weshalb alle Elemente des Vektorraums eindeutig als Lin.komb. von {u1,…,un} dargestellt werden können. 

Sei v ein Element des Vektorraums, so ist v = n₁b₁ + n2b₂ + … + n_nb_n. Wenn nun jedes b_i als Lin.komb. von Elementen von U dargestellt werden kann, ist man fertig, da diese Darstellung wegen der lin Unabhängigkeit dann eindeutig wäre und man sie für die b_i einfach einsetzen könnte.

Annahme: Es gibt ein b_i , das sich nicht als Linearkomb von U schreiben lässt, so ist die Menge {b_i , u₁, … u_n} eine linear unabhängige n+1-elementige Teilmenge des n-dimensionalen Vektorraums. Eine solche Menge spannt aber einen n+1 - dimensionalen Vektorraum auf. Damit ein Widerspruch zur Voraussetzung über die Dimension des Vektorraums. Also: alle bi lassen sich als Linkomb. von u_k schreiben und U ist eine Basis des Vektorraums.