zeige das ein Erzeugendensystem eine Basis ist falls:

Question

Aufgabe:

Sei (mi)i∈I ein Erzeugendensystem eines Vektorraumes V. Beweise: Dieses ist genau dann eine
Basis von V, falls sich mindestens ein Vektor x ∈ V eindeutig als Linearkombination der Form x = Summe(i∈I) ximi darstellen lässt.

Answer 1

Es gibt ein x∈V mit eindeutiger Darstellung \( x=\sum\limits_{i \in I}   x_i \cdot m_i \) #

Wären die m_i keine Basis, also lin. abh. , dann gäbe es eine Darstellung

des 0-Vektors  \(  \vec{0}  = \sum\limits_{i \in I}  y_i \cdot m_i \) und ein yi≠0

==>  \( \vec{x}  = \vec{x} +\vec{0} =\sum\limits_{i \in I}  x_i \cdot m_i + \sum\limits_{i \in I}  y_i \cdot m_i = \sum\limits_{i \in I}  (x_i+y_i )\cdot m_i  \)

Und weil mindestens ein yi≠0 sind  an dieser Stelle xi und xi+yi verschieden, also

eine andere Darstellung von x möglich. Widerspruch !

Sind umgekehrt die mi eine Basis, dann lässt sich jedes x∈V eindeutig

damit bdarstellen. q.e.d.