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Sei \( \varphi=(\alpha, \beta) \) mit \( \alpha=\left(\alpha_{0}, \ldots, \alpha_{T-1}\right) \) und \( \beta=\left(\beta_{0}, \ldots, \beta_{T-1}\right) \) ein Free Lunch. Für \( t=0, \ldots, T-1 \) sei
$$ \alpha_{t}^{\prime}:=\alpha_{t} \quad \text { und } \quad \beta_{t}^{\prime}:=\beta_{t}-V_{0}^{\varphi} $$
Dann bleibt die Handelsstrategie \( \varphi^{\prime}=\left(\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}\right) \) selbstfinanzierend, denn für \( t=1, \ldots, T-1 \) gilt
$$ \begin{aligned} \beta_{t-1}^{\prime} B_{t}+\left\langle\alpha_{t-1}^{\prime}, S_{t}\right\rangle &=\beta_{t-1} B_{t}-V_{0}^{\varphi} B_{t}+\left\langle\alpha_{t-1}, S_{t}\right\rangle \\ &=\beta_{t} B_{t}-V_{0}^{\varphi} B_{t}+\left\langle\alpha_{t}, S_{t}\right\rangle \\ &=\beta_{t}^{\prime} B_{t}+\left\langle\alpha_{t}^{\prime}, S_{t}\right\rangle \end{aligned} $$
Hi, ich frage mich, wie man bei dieser Aufgabe darauf kommt, dass βt-1=βt bzw. αt-1=αt. Beim vorletzten Gleichheitszeichen.
Sei \( \varphi=(\alpha, \beta) \) mit \( \alpha=\left(\alpha_{0}, \ldots, \alpha_{T-1}\right) \) und \( \beta=\left(\beta_{0}, \ldots, \beta_{T-1}\right) \) ein Free Lunch. Für \( t=0, \ldots, T-1 \) sei
$$ \alpha_{t}^{\prime}:=\alpha_{t} \quad \text { und } \quad \beta_{t}^{\prime}:=\beta_{t}-V_{0}^{\varphi} $$
Dann bleibt die Handelsstrategie \( \varphi^{\prime}=\left(\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}\right) \) selbstfinanzierend, denn für \( t=1, \ldots, T-1 \) gilt
$$ \begin{aligned} \beta_{t-1}^{\prime} B_{t}+\left\langle\alpha_{t-1}^{\prime}, S_{t}\right\rangle &=\beta_{t-1} B_{t}-V_{0}^{\varphi} B_{t}+\left\langle\alpha_{t-1}, S_{t}\right\rangle \\ &=\beta_{t} B_{t}-V_{0}^{\varphi} B_{t}+\left\langle\alpha_{t}, S_{t}\right\rangle \\ &=\beta_{t}^{\prime} B_{t}+\left\langle\alpha_{t}^{\prime}, S_{t}\right\rangle \end{aligned} $$
Wisst ihr vielleicht, warum dass so ist?
MfG
Pizzaboss
