1. Erläutere das Vorgehen zur Abstandsberechnung zwischen zwei Punkten bzw. die Berechnung der Länge des Vektors.
Die Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten oder die Länge eines Vektors in einem n-dimensionalen Raum kann mit dem euklidischen Abstandsberechnungsverfahren durchgeführt werden. Das euklidische Abstandsverfahren, auch als Längenmaß bekannt, wird auf der Grundlage der Pythagoreischen Theorem verwendet.
Gegeben sind zwei Punkte A(a1, a2, a3, ... , an) und B(b1, b2, b3, ..., bn) in einem n-dimensionalen Raum. Der euklidische Abstand zwischen diesen beiden Punkten wird wie folgt berechnet:
d = √((b1 - a1)^2 + (b2 - a2)^2 + (b3 - a3)^2 + ... + (bn - an)^2)
Wenn es sich um Vektoren handelt, würde man das gleiche machen, nur die Operationen werden dann mit Vektorrechnung gemacht (die gleiche Formel bleibt).
Um das an einem Beispiel zu veranschaulichen, berechnen wir den euklidischen Abstand zwischen den Punkten A(2, 3, 5) und B(4, 7, 6) in einem 3-dimensionalen Raum:
d = √((4 - 2)^2 + (7 - 3)^2 + (6 - 5)^2)
d = √(2^2 + 4^2 + 1^2)
d = √(4 + 16 + 1)
d = √21
d = 4,58
Der euklidische Abstand zwischen den Punkten A und B beträgt also 4,58.
Es ist wichtig zu beachten, dass dies die Länge des Vektors darstellt, der die beiden Punkte verbindet.
Es gibt auch andere Maße der Abstand, z. B. Manhattan, Chebyshev und andere, die abhängig von den Anforderungen an die Anwendung angewendet werden können.
2. Erläutere die Herleitung des Sklalarprodukts und gehe auf die Eigenschaften und Besonderheiten dieser Formel ein (ggf. mit einem Beispiel).
Das Skalarprodukt (auch Innenprodukt oder Dot-Produkt genannt) von zwei Vektoren u und v in einem n-dimensionalen Vektorraum ist eine Skalarzahl, die durch die Multiplikation der jeweiligen Komponenten der Vektoren und anschließende Summation erhalten wird.
Herleitung:
Das Skalarprodukt zweier Vektoren u und v, die jeweils Komponenten u1, u2, u3, ..., un und v1, v2, v3, ..., vn haben, lautet :
u * v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + ... + unvn
Es gibt auch eine alternative Formel auf die man kommt, indem man den Winkel zwischen beiden Vektoren berechnet und diesen Winkel mit dem Betrag von einem von beiden Vektoren multipliziert
u * v = |u|*|v| * cos(theta)
Eigenschaften und Besonderheiten:
- Das Skalarprodukt ist kommutativ, das heißt, es ist gleich, ob man zuerst den Vektor u oder zuerst den Vektor v einsetzt: u * v = v * u
- Das Skalarprodukt ist distributiv in Bezug auf die Addition von Vektoren, das heißt: (u+w) * v = u * v + w * v
- Das Skalarprodukt ist assoziativ in Bezug auf das Multiplizieren mit Skalaren, das heißt: (ku) * v = k(u * v)
- Das Skalarprodukt von einem Vektor mit Null ist Null: u * 0 = 0
- Der Betrag des Skalarprodukts ist kleiner oder gleich dem Produkt der Längen der Vektoren, das heißt: |u * v| <= |u| * |v|
- Wenn der Winkel zwischen den Vektoren 90 Grad ist, dann ist das Skalarprodukt Null. Wenn der Winkel zwischen den Vektoren kleiner als 90 Grad ist, dann ist das Skalarprodukt positiv. Wenn der Winkel zwischen den Vektoren größer als 90 Grad ist, dann ist das Skalarprodukt negativ.
Ein Beispiel:
Lass uns das Skalarprodukt von u = (3, 4) und v = (4, -2) berechnen:
u * v = 3 * 4 + 4 * (-2) = 12 - 8 = 4
Es ist 4, also ist das Skalarprodukt positiv, was bedeutet, dass die Vektoren einen kleineren Winkel als 90 Grad aufweisen.
