Kleinstmöglichen Abstand zwischen Geraden (Abiaufgabe)

Question

Aufgabe:

Die Punkte A(0|0|0), B(2|0|0), C(0|3|0), D(0|0|3) sind die Eckpunkte einer Pyramide mit der dreieckigen Grundfläche ABC.

Die Gerade g ist gegeben durch g: x = (2|0|0) + r*(1|1|1)

Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Abstand von g zur Kante AC.

Problem/Ansatz:

Hallo, leider konnte ich die Vektoren der Gerade nicht in Vektorenschreibweise angeben, hoffe es ist oke so.

Dies war eine Aufgabe in einer Klausur. Von 4 Verrechnungspunkten hatte ich hier nur einen, da ich dummerweise die Kannte AC als Gerade angesehen habe und nicht bemerkt habe, dass diese ja begrenzt ist und nicht wie eine Gerade unendlich lang.

Ich kam also zu dem Ergebnis Wurzel 2, indem ich den Abstand der zwei windschiefen Geraden ausgerechnet habe.

Falls jemand die Zeit hat, diese Aufgabe zu berechnen, hilft mir das enorm weiter, um den richtigen Rechenweg zu verstehen.

Viele Grüße

Comments

Tut mir leid. Ich habe deine Frage jetzt erst zu Ende gelesen.

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Gerade g:                         \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Gerade durch A und C:    \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix} \)

euklidischer Abstand zwischen zwei Punkten auf beiden Geraden:

\(d =  \sqrt{(2+r-0)^2+(r-3s)^2+(r-0)^2} \)

Das Minimum von \( d(r, s)\) ist bei \(d(-1, -\frac{1}{3})= \sqrt{2} \) .

Gesucht wird aber das Minimum unter der Nebenbedingung 0 ≤ s ≤ 1 (der Titel der Frage ist irreführend).

Answer 1

Das Minimum (vgl. oben) unter der Nebenbedingung: