Punkte auf Geraden zu vorgegebenen Abstand zur Ebene finden

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die gerade g mit x = (2/0/1) + r*(1/-1/3) und die Ebene E: 2x1 + x2 - 2x3 = 1

b) Bestimme alle Punkte auf der Geraden g, welche von E den Abstand 7 haben.

Problem/Ansatz:

Wie komme ich nun auf den Abstand? Was ich bereits festgestellt habe, ist, dass die Gerade und Ebene weder parallel noch orthogonal zueinander verlaufen. Der Schnittpunkt lautet S(2,2/ -0,2/ 1,6).

Würde sie orthogonal verlaufen wäre es nicht schwierig die Punkte zu finden, aber so weiß ich gerade nicht, wie es weiter geht.

Answer 1

Wähle die beiden Ebenen die parallel zu E sind und von

E den Abstand 7 haben.

Schneide sie mit g und du hast die Punkte.

Answer 2

\(d=\frac{\vec n*\vec x-1}{|\vec n|}=\frac{1}{3}(\cdot (2|1|-2)^T*(2+r|-r|-2+3r)^T-1)=7\) nach r auflösen

Answer 3

Hallo Julian,

Willkommen in der Mathelounge!

Wandele die Koordinatenform der Ebene in die Hessesche Normalform um. In diesem Fall ist das nicht mehr, als die Gleichung durch 3 zu dividieren, damit der Normalenvektor die Länge 1 bekommt:$$E:\quad 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 1 \to \frac13\begin{pmatrix} 2\\1\\-2 \end{pmatrix}\vec x = \frac13$$Der Abstand \(e\) eines Punktes \(P\) von der Ebene kann man dann berechnen mit:$$e = \left|\frac13\begin{pmatrix} 2\\1\\-2 \end{pmatrix}P - \frac13\right|$$Setze für \(P\) die Geradengleichung ein und setze den Abstand auf \(7\):$$ \left|\frac13\begin{pmatrix} 2\\1\\-2 \end{pmatrix}\left(\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 3\end{pmatrix}\right) - \frac13\right|= 7 $$löse die Gleichung nach \(r\) auf (Zur Kontrolle \(r_1=-3,6\) und \(r_2=4,8\)). Einsetzen in die Geradengleichung liefert Dir dann die gesuchten Punkte.

Gruß Werner