Abstand des Punktes C von der Ebene ABS1. Punkte: A (13|-5|3), B(11|3|1), C(5|3|7) und S1(13|1|9)

Question

die Aufgabe lautet : Berechnen Sie die Dicke des abgebildeten Oktaeders als Abstand des Punktes C von der Ebene ABS₁

Die Punkte lauten : A (13|-5|3) , B(11|3|1) , C(5|3|7) und S₁(13|1|9).

Ich habe zuerst die die Ebene gebildet : x= (13|-5|3) + r(-2|8|-2)+s(0|6|6) 

Dann habe ich die Ebene in Normalenform umgesetzt : 60x₁+ 12x₂- 12x₃= 684

Danach habe ich die Lotgerade gebildet : 1. Normalvektor ( -2|8|-2) * (0|6|6) = (60|12|-12)

Lotgerade lautet dann : x=(13|-5|3) + r(60|12|-12) 

Dann Lotgerade schnitt Ebene nach r auflösen und für r habe ich 0 raus .

ISt das richtig, bevor ich weitermache ? Also ich habe weiter gemacht und den Abstand habe ich 12 raus. Aber das stimmt nicht oder? Es musste nämlich 4Wurzel aus 3 rauskommen.

Answer 1

Deine Ebene In Koordinatenform stimmt:

E: 60·x + 12·y - 12·z = 684

Hieraus kannst du direkt die Abstandsformel erzeugen

d = (60·x + 12·y - 12·z - 684)/√(60^2 + 12^2 + 12^2)

Nun einfach einen Punkt einsetzen und ausrechnen

d = (60·5 + 12·3 - 12·7 - 684)/√(60^2 + 12^2 + 12^2) = - 4·√3 = -6.928

Natürlich können Abstände nicht negativ sein. Daher ist hier der Betrag zu nehmen.

Comments

danke !  können sie mir bitte sagen, was ich da oben falsch gemacht habe ?

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Lotgerade wäre:

x = [ 5 | 3 | 7 ] + r * [ 60 | 12 | -12 ] = [ 5 + 60r | 3 + 12r | 7 - 12r ]

Schnitt mit Ebene

60x₁+ 12x₂ - 12x₃= 684

60(5 + 60r)+ 12(3 + 12r) - 12(7 - 12r) = 684

r = 1/9

Abstand 

1/9 * √(60^2 + 12^2 + 12^2) = 4·√3