Abstand des Punktes P (4;4;5) von der Ebene E durch die Punkte A (0;0,2),B (2;4;-3) und C (-2,-2;5).

Question

Diese Aufgabe mussten wir in einem Mathetest lösen. Ich habe dies folgender Maßen gemacht:
Zuerst habe ich die Ebene E gebildet.

E: $$ \xrightarrow { x } $$ = $$  \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} $$ + r* §§ \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ -5 \end{matrix} §§ + t* $$ \begin{matrix} -2 \\ -2 \\ 3 \end{matrix} $$

Danach habe ich die Formel d = $$ | $$ ( $$ \xrightarrow { vp } §§ - $$ \xrightarrow { vo } $$) * $$ \xrightarrow { n } $$ $$ | §§ benutzt. Dazu habe ich mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren der Ebene E den Normalenvektor der Ebene ermittelt. So habe ich n= §§ \xrightarrow { n } $$ = $$ \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{matrix} $$ erhalten. Dann habe ich den Ortsvektor des Punktes P, den Ortsvektor von A (als fester Punkt auf der Ebene E) und den erhaltenen Normalenvektor in die Gleichung eingesetzt.

d = $$ | $$ ( $$ \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{matrix} §§ - $$ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} $$ ) * §§  \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{matrix} $$ $$ | $$

So kam ich auf das Ergebnis d = 36. Daher würde der Abstand 36 Längeneinheiten betragen. Jedoch hat mein Lehrer in die Gleichung den Faktor 1/6 eingefügt. Die Gleichung lautete dann:

d = $$ | $$ ( $$ \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{matrix} §§ - $$ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} $$ ) * 1/6 * §§  \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{matrix} $$ $$ | $$

Ich verstehe jedoch nicht, wieso mein Lehrer diese 1/6 eingefügt hat, das ergibt für mich keinen Sinn. Es wäre nett, wenn ihr mir hier helfen könntet. Es wäre schon, wenn ich bis Morgen eine Antwort erhalte, da ich am Freitag Vorabi in Mathe schreibe. Vielen Danke.

Answer 1

A(0;0,2), B(2;4;-3) und C (-2,-2;5).

Wir stellen die Ebenengleichung in Koordinatenform auf

Normalenvektor N

([2, 4, -3] - [0, 0, 2]) ⨯ ([-2, -2, 5] - [0, 0, 2]) = [2, 4, 4] = 2 * [1, 2, 2]

Ebenengleichung

X * N = A * N
1x + 2y + 2z = 4

Abstandsformel

d = (1x + 2y + 2z - 4)/√(1^2 + 2^2 + 2^2)
d = (x + 2·y + 2·z - 4)/3

Ich würde annehmen hier hast du nicht durch die Vektorlänge des Normalenvektors geteilt oder?

Jetzt noch den Punkt P einsetzen

d = (4 + 2·4 + 2·5 - 4)/3 = 6