Man kann aus
x * (4,0,2) = (-3,4,0) * (2,3,17)
keinen Stützvektor ablesen. Der Vektor (4,0,2) ist ein Normalenvektor der Ebene, das heißt ein Vektor, der senkrecht zur Ebene steht.
Zunächst wird dafür gesorgt, dass auf einer Seite 0 steht. Das ergibt
\(x\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\17\end{pmatrix} = 0\)
Nun wird durch den Betrag des Normalenvektors geteilt. Der Normalenvektor hat den Betrag
\(\sqrt{4^2 + 0^2 + 2^2} = 2\cdot\sqrt{5}\).
Das ergibt
\(\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot\left(x\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\17\end{pmatrix}\right)=0\).
Jetzt hast du eine Formel für den Abstand \(d\) eines Punktes zur Ebene E:
\(d(x) = \left|\frac{1}{2\sqrt{5}}\cdot\left(x\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\17\end{pmatrix}\right)\right|\).
Setze den Ortsvektor von P für \(x\) ein und erkundige dich über die Hessesche Normalenform.
