Ist die durch die Matrix definierte Bilinear- bzw hermitesche Form b ein Skalarprodukt?

Question

Aufgabe

Ist die durch die Matrix definierte Bilinear- bzw. hermitesche Form \( b \) ein Skalarprodukt? Wenn nicht, dann finden Sie einen Vektor \( v \neq \underline{0} \) mit \( b(v, v) \leq 0 \).
a) (2 P.) \( \left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)(k=\mathbb{R}) \);
b) (2 P.) \( \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)(k=\mathbb{R}) \);
c) (2 P.) \( \left(\begin{array}{cc}2 & 1-2 i \\ 1+2 i & 5\end{array}\right)(k=\mathbb{C}) \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich hab einfach keine Ahnung, wie ich überhaupt anfangen soll, und inwiefern wie Skala Produkt, bilinearität mit der Matrix überhaupt Zusammenhängen?

Answer 1

Eine Abbildung \(b\) heißt Bilinearform, wenn die Abbildung in beiden Argumenten linear ist. Hermitesche Form, wenn sie in einem Argument linear und im anderen Argument semilinear ist.

Ist eine Matrix \(A\) gegeben, so definiert \(x^TAx\) eine Bilinearform/hermitesche Form. (Beweis als Übung).

Ein Skalarprodukt ist eine symmetrische/hermitesch, positiv definite Bilinearform, das heißt es gilt \(b(v,v)=0\) nur für \(v=0\) und sonst \(b(v,v)>0\). Das ist dann gleichbedeutend mit der Positivdefinitheit der Matrix. Damit dürfte also klar sein, wie man das nachweist. Und Symmetrie bedeutet \(b(v,w)=b(w,v)\) für alle Vektoren \(v\) und \(w\).

Du solltest diese Definitionen und Eigenschaften aber auch alle in deinen Unterlagen finden. Also fang mal damit an, sowas nachzuschlagen. Falls du da nicht fündig wirst, hilft auch immer das Internet. Das selbstständige Arbeiten mit den Unterlagen, Begriffen, Themen gehört zum Studium dazu. Es ist völlig normal, dass einem das Wissen nicht in den Schoß fällt.