Eigenschaften Skalarprodukt (Sesquilinearität, Hermitesche Symmetrie, positive Definitheit)

Question

Aufgabe:

Für \( u, v \in \mathbb{C}^{n} \) definieren wir allgemeiner \( \langle u, v\rangle=\bar{u}^{T} v \), zeige folgende Eigenschaften:

(i) \( \left\langle u_{1}+\lambda u_{2}, v\right\rangle=\left\langle u_{1}, v\right\rangle+\bar{\lambda}\left\langle u_{2}, v\right\rangle \)
\( \left\langle u, v_{1}+\mu v_{2} v\right\rangle=\left\langle u, v_{1}\right\rangle+\mu\left\langle u, v_{2}\right\rangle \) (Sesquilinearität)

(ii) \( \langle u, v\rangle=\overline{\langle v, u\rangle} \) (Hermitesche Symmetrie)

(iii) \( \langle u, u\rangle \geq 0 \) und \( \langle u, u\rangle=0 \Leftrightarrow u=0 \) (positive Definitheit)

Answer 1

Hi,

die Eigenschaften kann man ziemlich simpel mit der gegebenen Definition nachrechnen, sofern man weiß was der Betrag einer komplexen Zahl ist, was ein Komplement ist und das die Addition komplexer Zahlen assoziativ und kommutativ ist.

Beispiel:

$$ \langle u_1 + \lambda u_2, v \rangle = \overline{(u_1 + \lambda u_2)}^Tv= \overline{u_1}^Tv +  \overline{\lambda} \cdot \overline{u_2}^Tv = \langle u_1,v \rangle + \overline{\lambda} \langle u_2,v \rangle$$

Die anderen Identitäten kann man ebenfalls durch einfache Umformungen zeigen.

Kurzer Nachtrag: Die Definition entspricht ja \( \langle u,v \rangle := \sum \limits_{k=1}^n \overline{u_k}v_k \)

Gruß